"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Целые выражения состоят из чисел, переменных и действий сложения, вычитания и умножения; деления на выражение с переменной в них нет. Их преобразуют, чтобы записывать короче, решать уравнения и доказывать тождества. Главное — правильно раскрывать скобки, умножать каждый член на каждый и объединять только подобные слагаемые. Так выражение приводят к стандартному виду, не меняя его значения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целое выражение составлено из чисел, переменных и действий сложения, вычитания и умножения; деления на выражение с переменной в нём нет. Например, 2x(x − 3) — целое выражение, а 1/(x + 3) — нет. Это понятие помогает понять, какие выражения можно преобразовывать обычными правилами раскрытия скобок и умножения.
Одночлен — произведение чисел и переменных, возведённых в натуральные степени, например −4a²b. Числовой множитель −4 называют коэффициентом одночлена, а сумму показателей степеней букв — его степенью: здесь степень равна 2 + 1 = 3. Эти обозначения помогают умножать одночлены и сравнивать их буквенные части.
Многочлен — сумма одночленов, например 3x² − 2x + 5. Каждое слагаемое этой суммы называют членом многочлена: в примере это 3x², −2x и 5. Многочлены удобно преобразовывать, чтобы собирать похожие слагаемые и видеть, какие части выражения можно объединить.
Тождественное преобразование — замена выражения другим, равным ему при всех допустимых значениях переменных. Например, 2(x + 1) и 2x + 2 равны при любом x, потому что раскрытие скобок сохраняет значение выражения. Это нужно, чтобы упрощать записи, не меняя их смысла.
Основа преобразований — свойства сложения и умножения. Переместительное свойство позволяет менять слагаемые или множители местами, а сочетательное — по-разному объединять их в группы. Распределительное свойство a(b + c) = ab + ac связывает умножение со сложением и позволяет раскрывать скобки. Поэтому длинную запись можно перестраивать, сохраняя её значение.
Раскрыть скобки — значит заменить умножение на сумму или разность отдельными произведениями. Например, 3(x + 2) = 3x + 6: число 3 умножается и на x, и на 2. Если перед скобками стоит минус, всё выражение умножается на −1, поэтому −(x − 4) = −x + 4. Знак меняется у каждого слагаемого, а не только у первого.
Чтобы получить многочлен стандартного вида, сначала раскрывают скобки, затем приводят подобные слагаемые и упорядочивают оставшиеся члены. Например, после раскрытия скобок может получиться 2x + 3 − x + 5; объединение слагаемых даёт x + 8. Члены обычно записывают по убыванию степеней переменной. Такой порядок делает выражение удобнее для чтения и сравнения.
Подобными называют только слагаемые с одинаковой буквенной частью: 5ab и −2ab подобны, а 5ab и 5a — нет. При сложении подобных слагаемых переменные и их степени остаются прежними, а складываются только коэффициенты: 5ab − 2ab = 3ab. У выражений x и x² разные степени, поэтому объединить их нельзя. Одинаковой буквы в записи недостаточно — должны совпадать все переменные и их показатели.
Проверить преобразование можно подстановкой: выбрать значение переменной и сравнить числовые результаты исходного и нового выражений. Например, равные выражения при x = 2 должны дать одинаковое число. Если результаты различаются, где-то допущена ошибка в знаке или вычислении. Но совпадение при одном значении не доказывает равенство при всех значениях, поэтому основная проверка — правильное применение свойств.
В таблице собраны правила для типичных действий. Сначала определите, какой приём нужен, затем проверьте знаки и убедитесь, что ни один член не пропущен.
| Приём | Исходный вид | Результат | Что важно проверить |
|---|---|---|---|
| Раскрытие скобок при сложении | a + (b + c) | a + b + c | Знаки слагаемых не меняются |
| Раскрытие скобок при вычитании | a − (b + c) | a − b − c | Знак каждого слагаемого меняется |
| Умножение одночлена на многочлен | a(b + c) | ab + ac | Множитель применён к каждому члену |
| Умножение многочлена на многочлен | (a + b)(c + d) | ac + ad + bc + bd | Каждый член первой скобки умножен на каждый член второй |
| Приведение подобных слагаемых | 3x + 2x | 5x | Буквенные части совпадают |
| Приведение многочлена к стандартному виду | 2x + 3 − x + 5 | x + 8 | Скобки раскрыты, подобные объединены |
Задача 1. Упростить выражение: 4x − (2x − 7) + 3. Перед скобками стоит минус, значит, меняем знаки у обоих слагаемых в скобках. Затем собираем отдельно слагаемые с x и числа. Так мы получим выражение, в котором подобные части уже объединены.
Ответ: 2x + 10. Проверим, например, при x = 1: исходное выражение равно 4 − (2 − 7) + 3 = 12, а новое — 2 + 10 = 12. Результаты совпали.
Задача 2. Раскрыть скобки и привести к стандартному виду: 3a(2a − 5) − 2(a² − 4a + 1). Здесь нужно раскрыть две скобки, причём во второй перед скобками стоит множитель −2. Он должен умножить каждый член многочлена, включая число 1. После этого удобно сгруппировать члены со степенью a², с a и числа.
Ответ: 4a² − 7a − 2. Степень a² не меняется при приведении подобных, а коэффициенты при ней складываются: 6 − 2 = 4. Аналогично для членов с a получаем −15 + 8 = −7.
Задача 3. Доказать тождество: (x + 3)(x − 3) − x(x − 2) = 2x − 9. Чтобы проверить равенство, преобразуем левую часть и посмотрим, получится ли правая. При умножении скобок каждый член первой скобки должен перемножиться с каждым членом второй. Затем раскроем оставшиеся скобки и приведём подобные слагаемые.
Ответ: левая часть равна 2x − 9, то есть правой части. Следовательно, тождество доказано.
После знака минус иногда оставляют прежние знаки в скобках, потому что учитывают минус только у первого слагаемого. Но скобки целиком умножаются на −1, значит, меняется знак каждого члена. Проверьте раскрытие обратной подстановкой: если свернуть полученную сумму, должна восстановиться исходная разность.
Другая ошибка — складывать x и x², считая, что достаточно совпадения букв. У этих слагаемых разные буквенные части, поэтому коэффициенты объединять нельзя. Перед сложением сравните не только буквы, но и их показатели степеней; если они различаются, слагаемые остаются отдельными.
При умножении многочленов можно пропустить произведение одной пары членов. Это случается, когда умножают только первые слагаемые или невнимательно распределяют множители. Составьте список произведений: каждый член первой скобки должен встретиться с каждым членом второй; для двух двучленов получится четыре произведения.
При умножении одночленов ошибаются в знаке коэффициента или показателе степени. Например, при a² · a³ нужно сложить показатели и получить a⁵, а не a⁶; при умножении отрицательных коэффициентов учитывают правило знаков. Проверяйте коэффициенты отдельно от буквенной части и складывайте показатели только у одинаковых переменных.
Для преобразований нужны свойства сложения и умножения, распределительный закон, правила действий со степенями, а также понятия одночлена, многочлена и подобных слагаемых. Освоенные приёмы пригодятся при решении уравнений, доказательстве тождеств, упрощении формул и исследовании функций. Далее они станут основой формул сокращённого умножения и разложения многочленов на множители.
Чем целое выражение отличается от любого алгебраического выражения?
Целое выражение составлено из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания и умножения. В нём нет деления на выражение с переменной, например 1/(x + 2).
Почему при раскрытии скобок после минуса меняются знаки всех слагаемых?
Минус перед скобками означает умножение всего выражения в скобках на −1. По распределительному свойству −1 умножается на каждое слагаемое, поэтому каждый знак становится противоположным.
Можно ли привести к подобным слагаемым выражения x и x²?
Нет. У них разные буквенные части: в первом случае x, во втором — x². Складывать коэффициенты можно только у слагаемых с одинаковой буквенной частью.
В каком порядке лучше выполнять несколько преобразований со скобками?
Сначала удобно раскрыть внешние скобки, учитывая знак перед ними, а затем раскрыть скобки внутри получившихся произведений. После этого перемножают одночлены и приводят подобные слагаемые. В конце упорядочивают члены многочлена.
Как быстро проверить, не допущена ли ошибка в преобразовании?
Подставьте одно и то же числовое значение переменной в исходное и полученное выражения и сравните результаты. Несовпадение точно указывает на ошибку; совпадение помогает проверке, но само по себе не доказывает тождество.
§ 14. Преобразование целых выражений
