"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Сумму и разность кубов можно представить в виде произведения двух множителей. Для этого используют формулы a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) и a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). В роли a и b могут выступать не только числа, но и целые выражения, например 2x или 4x². Разложение помогает упростить вычисления, сократить дроби и решить уравнения. Главное — распознать кубы и не перепутать знаки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма кубов — выражение вида a³ + b³, где оба слагаемых являются кубами некоторых чисел или выражений. Например, 8 + x³ можно записать как 2³ + x³. Это определение помогает заметить подходящую форму и применить специальную формулу разложения.
Разность кубов — выражение вида a³ − b³, где уменьшаемое и вычитаемое являются кубами. Например, 27 − y³ — это 3³ − y³. Если узнать такую форму, разность можно заменить произведением, с которым иногда удобнее работать.
Формула разложения суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Здесь a и b могут быть числами или целыми выражениями, например x и 2y. Поэтому формула подходит не только для простых чисел: вместо букв можно подставлять найденные кубические корни слагаемых.
Формула разложения разности кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Буквы a и b здесь также обозначают числа или выражения. Формула превращает разность двух кубов в произведение и позволяет использовать разложение при дальнейших преобразованиях.
Формулы можно проверить раскрытием скобок. Для суммы получаем a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³: слагаемые с a²b и ab² попарно сокращаются, остаются a³ + b³. Для разности при раскрытии (a − b)(a² + ab + b²) смешанные слагаемые тоже уничтожаются, и остаётся a³ − b³. Поэтому формулы не являются догадкой: они следуют из распределительного свойства умножения.
Чтобы распознать кубы, проверь показатель степени у букв и найди кубический корень числового коэффициента. Число 8 — это 2³, а x³ уже является кубом x, значит 8x³ = (2x)³. Если степени букв делятся на 3, их тоже можно представить как куб: например, x⁶ = (x²)³. Так определяется, можно ли применить формулу к обоим слагаемым.
Знаки в формулах устроены закономерно. В первом множителе сохраняется знак между кубами: для суммы стоит a + b, для разности — a − b. Во втором множителе знак среднего члена противоположен знаку исходного выражения: минус в формуле суммы и плюс в формуле разности. Это нужно, чтобы при раскрытии скобок смешанные слагаемые взаимно уничтожились.
Разложение выполняй по порядку: сначала представь каждый член как куб и обозначь их кубические корни буквами a и b. Затем выбери формулу по знаку между кубами, подставь вместо букв найденные числа или выражения и запиши произведение множителей. Такой порядок помогает не перепутать, какие выражения нужно возвести в квадрат и перемножить внутри второго множителя.
Готовый результат можно проверить обратным действием — раскрытием скобок. Раскрой каждый множитель произведения, приведи подобные слагаемые и сравни результат с исходным выражением. Если знак или степень были указаны неверно, смешанные члены не сократятся либо останется не тот знак у последнего слагаемого.
| Вид выражения | Формула разложения | Первый множитель | Второй множитель |
|---|---|---|---|
| Сумма кубов a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) | a + b | a² − ab + b² |
| Разность кубов a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) | a − b | a² + ab + b² |
Сначала найди строку, которая подходит по знаку между кубами. Затем используй первый и второй множители в этой строке, подставив вместо a и b кубические корни слагаемых. При сомнении проверь полученное произведение раскрытием скобок.
Второе слагаемое — полный куб, потому что 27 = 3³. Первое слагаемое уже записано как куб x³, поэтому здесь a = x и b = 3. Между кубами стоит плюс, значит, нужна формула суммы кубов.
Внутри второго множителя появились 3x и 9, потому что ab = x · 3, а b² = 3². Ответ: (x + 3)(x² − 3x + 9).
Оба коэффициента — кубы: 8 = 2³, 125 = 5³. Буквенные части тоже можно включить в кубы: 8a³ = (2a)³, а 125b³ = (5b)³. Знак между ними минус, поэтому применяем формулу разности кубов с a = 2a и b = 5b.
Квадраты равны (2a)² = 4a² и (5b)² = 25b², а произведение равно 10ab. Ответ: (2a − 5b)(4a² + 10ab + 25b²).
Здесь кубами являются не отдельные буквы, а составные выражения. Действительно, 64 = 4³ и x⁶ = (x²)³, поэтому 64x⁶ = (4x²)³. Аналогично, 343y⁹ = (7y³)³; знак плюс указывает на формулу суммы кубов.
В среднем члене перемножаются 4x² и 7y³, поэтому получается 28x²y³; перед ним стоит минус. Ответ: (4x² + 7y³)(16x⁴ − 28x²y³ + 49y⁶).
При сумме кубов иногда пишут a² + ab + b² во втором множителе. Так происходит, если механически переносят знак плюс из первого множителя, но тогда смешанные слагаемые при раскрытии скобок не сократятся. Проверь себя: в формуле суммы средний член должен быть отрицательным, а раскрытие скобок должно вернуть a³ + b³.
Для разности кубов ошибочно записывают (a − b)(a² − ab + b²). Здесь средний член второго множителя должен быть положительным, иначе при раскрытии не получится a³ − b³. Проверка раскрытием скобок сразу покажет ошибку в знаке.
Можно неверно извлечь кубический корень из коэффициента или буквенной части, например принять 8x³ за (8x)³. Тогда куб числа 8x будет равен 512x³, а не 8x³; правильное представление — (2x)³. Возводи найденный корень в куб, чтобы убедиться, что получаешь исходный одночлен.
Ещё одна ошибка — применять формулу, не проверив оба слагаемых. Одного полного куба недостаточно: второй член тоже должен представляться кубом. Разложи каждый член отдельно и проверь, что при возведении найденных выражений в куб получаются исходные слагаемые.
Для применения формул нужно уметь возводить одночлены в куб и находить кубический корень из полного куба. Раскрытие скобок и распределительное свойство помогают как проверить формулы, так и убедиться в правильности конкретного разложения. После разложения на множители можно преобразовывать выражения, сокращать дроби и решать уравнения. Поэтому распознавание кубов связывает вычисления со многими дальнейшими задачами алгебры.
Как понять, что выражение можно разложить по формуле суммы кубов?
Проверь, можно ли представить оба слагаемых в виде кубов: a³ и b³. Например, 8x³ + 27 = (2x)³ + 3³, поэтому подходит формула суммы кубов.
Почему в формуле суммы кубов средний член второго множителя отрицательный?
При раскрытии скобок слагаемые с ab² и a²b должны взаимно уничтожиться. Знак минус перед ab обеспечивает это сокращение, и остаётся a³ + b³.
Как разложить на множители выражение, если кубами являются одночлены с коэффициентами?
Найди кубический корень отдельно у числового коэффициента и у буквенной части. Например, 8a³ = (2a)³, а затем подставь 2a вместо a в подходящую формулу.
Чем отличаются формулы суммы и разности кубов?
В первом множителе знак совпадает со знаком между кубами: плюс для суммы и минус для разности. Во втором множителе средний член имеет противоположный знак.
Как проверить, правильно ли выполнено разложение?
Раскрой скобки в полученном произведении. Если после сокращения подобных слагаемых вышло исходное выражение, разложение верное.
36. Разложение на множители суммы и разности кубов
