"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Сумму или разность кубов можно представить как произведение двух множителей. Для этого достаточно найти основания кубов и применить подходящую формулу: знак в первом множителе повторяет знак между кубами, а средний член второго множителя имеет противоположный знак. Такой способ помогает упрощать выражения и решать уравнения разложением на множители.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма кубов — выражение вида a³ + b³, где a и b могут быть числами или выражениями. Например, 8 + x³ — сумма кубов, потому что 8 = 2³. Это название помогает заметить подходящую формулу и заменить сумму произведением.
Разность кубов — выражение вида a³ − b³. Например, 27 − y³ состоит из кубов 3³ и y³. Определение нужно, чтобы отличать такое выражение от обычной разности и выбирать формулу с правильными знаками.
Формула разложения суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Получаются два множителя: двучлен a + b и трёхчлен a² − ab + b². По формуле сумму кубов можно представить произведением и, например, найти общий множитель с другими частями выражения.
Формула разложения разности кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Здесь множители — двучлен a − b и трёхчлен a² + ab + b². Она позволяет превратить разность кубов в произведение, сохранив равенство выражений.
Проверить формулу суммы кубов можно раскрытием скобок: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³. Слагаемые −a²b и +a²b, а также +ab² и −ab² взаимно уничтожаются. Остаются a³ и b³, поэтому произведение равно a³ + b³.
Для разности раскрываем скобки в (a − b)(a² + ab + b²): получаем a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³. Смешанные слагаемые снова сокращаются попарно. Остаётся a³ − b³, что и объясняет формулу разности кубов.
Формулы удобно сравнивать по знаку между кубами. Если в исходном выражении стоит плюс, первый множитель тоже содержит плюс, а если минус — первый множитель содержит минус. Во втором множителе средний знак противоположен: минус при сумме кубов и плюс при разности; при этом крайние слагаемые положительны.
Чтобы распознать кубы, представь каждый член как произведение трёх одинаковых множителей. Например, 8x³ = 2³ · x³ = (2x)³, а 27a³ = 3³ · a³ = (3a)³. Такое представление показывает основания кубов: в первом примере это 2x, во втором — 3a.
Порядок разложения состоит из трёх действий: найди основание каждого куба, выбери формулу по знаку между кубами и подставь основания вместо a и b. Затем можно проверить результат обратным раскрытием скобок. Такая проверка обнаруживает ошибки в знаках, основаниях и среднем члене множителя.
| Выражение | Первый множитель | Второй множитель |
|---|---|---|
| a³ + b³ | a + b | a² − ab + b² |
| a³ − b³ | a − b | a² + ab + b² |
Сначала найди строку с нужным знаком между кубами. Затем подставь основания кубов вместо a и b в оба множителя, не пропуская произведение ab. Таблица помогает не перепутать знаки, но правильность ответа всё равно можно проверить раскрытием скобок.
Задача 1. Разложить на множители x³ + 8. Число 8 можно записать как куб числа 2, поэтому выражение является суммой кубов x³ и 2³. Здесь основания кубов — x и 2.
Ответ: (x + 2)(x² − 2x + 4).
Задача 2. Разложить на множители 27a³ − b³. Представим 27a³ как (3a)³, а b³ уже записан в виде куба. Между кубами стоит минус, поэтому нужна формула разности кубов.
Ответ: (3a − b)(9a² + 3ab + b²).
Задача 3. Разложить на множители 8x³ + 125y³ − 2x − 5y. Здесь первые два слагаемых образуют сумму кубов, а последние удобно рассматривать вместе, чтобы после применения формулы появился общий множитель.
Ответ: (2x + 5y)(4x² − 10xy + 25y² − 1).
Иногда при сумме кубов в трёхчлене пишут +ab вместо −ab или наоборот при разности. Путаница возникает потому, что знак в первом и втором множителях ведёт себя по-разному. Проверка раскрытием скобок сразу покажет ошибку: смешанные слагаемые не сократятся.
Другая ошибка — считать, что в формуле разности кубов все знаки отрицательные. На самом деле минус стоит в первом множителе, а средний член трёхчлена положительный. Если поставить все знаки неверно, при раскрытии появятся лишние смешанные слагаемые или изменится знак последнего куба.
Можно неверно определить основание куба, например принять 8x³ за (8x)³. Такое происходит, если не проверить куб числового коэффициента: 8x³ = (2x)³, поскольку 2³ = 8. Возведи предполагаемое основание в третью степень: если не получилось исходное слагаемое, основание выбрано неправильно.
Ещё можно забыть средний член −ab или +ab либо записать только один из его множителей. Тогда трёхчлен перестанет соответствовать формуле, и проверка раскрытием скобок не даст исходное выражение. Перед ответом проверь, что средний член содержит оба основания, перемноженные между собой.
Для работы с кубами нужны свойства степеней и умение находить куб одночлена: например, (3a)³ = 27a³. Также полезно знать формулы сокращённого умножения и навык раскрытия скобок, потому что так проверяют разложения. Освоив эти действия, можно применять формулы суммы и разности кубов при упрощении выражений и решении уравнений разложением на множители.
Как понять, что выражение является суммой или разностью кубов?
Нужно представить каждый член выражения как третью степень числа или одночлена. Если между двумя кубами стоит знак плюс, это сумма кубов; если минус — разность кубов. Например, 8x³ + 27 = (2x)³ + 3³.
Как разложить на множители сумму кубов?
Определите основания a и b, кубы которых стоят в выражении, а затем используйте формулу a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Проверьте, что средний член второго множителя отрицательный, а основания перемножены.
Почему в формулах средний знак меняется?
Знак среднего члена выбирают так, чтобы при раскрытии скобок смешанные слагаемые взаимно уничтожились. Поэтому у суммы кубов средний член отрицательный, а у разности кубов — положительный.
Как определить основания кубов, если перед переменными стоят коэффициенты?
Найдите кубический корень из числового коэффициента и отдельно учтите переменную. Например, 8x³ = (2x)³, потому что 2³ = 8 и x³ уже является кубом. Значит, основание здесь 2x, а не 8x.
Как проверить, что разложение выполнено правильно?
Раскройте скобки в полученном произведении и приведите подобные слагаемые. Если после сокращения смешанных слагаемых получилось исходное выражение, разложение верно.
31. Разложение на множители суммы и разности кубов
