"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Куб суммы и куб разности — произведения двучлена на себя три раза. Чтобы быстро раскрывать такие скобки, используют формулы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ и (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. В них важно не только запомнить знаки и коэффициенты, но и правильно определить слагаемые. Формулы работают и в обратную сторону: с их помощью многочлен можно представить как куб двучлена.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Куб суммы — это произведение суммы двух выражений на саму себя три раза: (a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b). Например, (x + 2)³ означает три одинаковых множителя x + 2, а не сумму кубов x и 2. Такая запись коротко обозначает умножение и помогает применять специальную формулу.
Куб разности — произведение разности двух выражений на саму себя три раза: (a − b)³ = (a − b)(a − b)(a − b). В записи (a − b)³ в каждом множителе вычитается b, поэтому результат отличается от куба суммы знаками. Это определение нужно помнить, чтобы верно раскрыть скобки.
Тождество — равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Например, формулы (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ и (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ являются тождествами. Поэтому вместо выражения в скобках можно записать равное ему выражение справа.
Двучлен — выражение из двух слагаемых, соединённых знаком плюс или минус. В формулах куба суммы и разности такими слагаемыми служат a и b: это могут быть числа, переменные или выражения с коэффициентами. Умение выделить оба слагаемых помогает правильно подставить их в формулу.
Чтобы получить формулу куба суммы, представим его как (a + b)²(a + b). Сначала квадрат суммы равен a² + 2ab + b², поэтому перемножаем (a² + 2ab + b²)(a + b). Получаются a³, a²b, 2a²b, 2ab², ab² и b³; складывая подобные слагаемые, получаем a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Коэффициенты 3 возникают потому, что каждое из двух смешанных слагаемых встречается три раза.
В кубе разности можно раскрыть произведение (a − b)²(a − b), а квадрат разности равен a² − 2ab + b². При умножении появляются a³, −a²b, −2a²b, ab², 2ab² и −b³; после приведения подобных получается a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Отрицательные второй и четвёртый члены связаны с тем, что b вычитается в каждом множителе. Члены с ab² становятся положительными, потому что в соответствующих произведениях встречаются два отрицательных множителя.
Формулы куба суммы и куба разности похожи: в обеих есть кубы слагаемых и два смешанных члена с коэффициентом 3. Отличие в знаках: у суммы все члены положительные, а у разности знаки чередуются. Поэтому перед a²b стоит минус, а перед ab² — плюс; знак перед последним b³ снова минус. Если запомнить эту последовательность, легче не спутать знак перед произведением ab.
При раскрытии скобок сначала определи первое и второе слагаемые двучлена, затем выбери подходящую формулу. Например, в (3x + 2)³ первое слагаемое a = 3x, а второе b = 2; в (3x − 2)³ они такие же, но между ними стоит минус. Подставлять нужно слагаемые целиком, а не только x и 2, иначе потеряются коэффициенты. После подстановки вычисли степени и произведения по отдельности.
Формулы можно применять и справа налево, чтобы свернуть многочлен в куб двучлена. Для этого сначала проверь, похожи ли первый и последний члены на кубы выражений a и b. Затем проверь средние члены: в кубе суммы это 3a²b и 3ab², а в кубе разности — −3a²b и 3ab². Совпадение всех четырёх членов подтверждает, что многочлен действительно является таким кубом.
| Выражение | Раскрытие скобок | Знаки перед членами | Что считать первым и вторым слагаемым |
|---|---|---|---|
| (a − b)³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | Знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус | a и b; второе слагаемое вычитается |
В таблице показана формула куба разности: первое слагаемое обозначено буквой a, второе — b. Для куба суммы используй формулу (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³: все её члены положительны. Перед подстановкой проверь, сумма или разность стоит в скобках.
Задача 1. Раскрыть скобки: (x + 2)³. Здесь записан куб суммы, поэтому вместо трёх одинаковых множителей удобнее сразу применить формулу. Первым слагаемым будет x, вторым — 2.
Ответ: x³ + 6x² + 12x + 8. Проверка показывает, что в результате четыре члена, а их знаки положительные, как и должно быть при кубе суммы.
Задача 2. Раскрыть скобки: (3a − 2b)³. Это куб разности, причём каждое слагаемое состоит из коэффициента и переменной. Значит, a в формуле обозначим всё выражение 3a, а b — всё выражение 2b.
Ответ: 27a³ − 54a²b + 36ab² − 8b³. Знаки идут по порядку: плюс, минус, плюс, минус, а коэффициенты учитывают возведение 3a и 2b в степени.
Задача 3. Представить многочлен 8x³ − 36x² + 54x − 27 в виде куба двучлена. Начнём с первого и последнего членов: 8x³ = (2x)³, а 27 = 3³. Это подсказывает возможный двучлен 2x − 3, но его нужно проверить по средним членам.
Ответ: (2x − 3)³. Проверка средних членов нужна, потому что совпадения только первого и последнего кубов недостаточно, чтобы подтвердить формулу.
Ошибка: записывать (a + b)³ как a³ + b³. Так делают, когда неверно распространяют правило умножения степеней на сумму: степень суммы нельзя распределять по слагаемым. Проверить ответ можно на a = 1 и b = 1: слева получится 8, а в записи a³ + b³ — только 2.
Ошибка: ставить в кубе разности все знаки минус или менять знак только у последнего члена. Причина — запоминание отдельных минусов вместо порядка членов. Проверь знаки по формуле: плюс, минус, плюс, минус; отрицательными должны быть второй и четвёртый члены.
Ошибка: писать коэффициент 2 перед средними членами. При раскрытии произведения три одинаковых слагаемых складываются, поэтому появляется 3, а не 2. Для проверки раскрой квадрат суммы или разности, затем умножь результат на ещё один двучлен и приведи подобные.
Ошибка: неверно выбирать a и b, особенно если второе слагаемое имеет знак минус. Например, в (2x − 5)³ берут a = 2x, b = 5 и используют формулу разности, а не считают b равным −5 без изменения формулы. Перед подстановкой прочитай двучлен как сумму или разность двух целых слагаемых и проверь, совпали ли знаки с выбранной формулой.
Для вывода формул куба суммы и разности нужны формулы квадрата суммы и разности, умножение степеней и приведение подобных слагаемых. Эти действия объясняют, откуда берутся смешанные члены и коэффициенты 3. Сами формулы помогают быстрее раскрывать скобки и выполнять тождественные преобразования.
Обратное применение формул пригодится при разложении многочленов на множители: многочлен можно свернуть в куб двучлена. Такие преобразования связаны с другими формулами сокращённого умножения и помогают узнавать общий вид алгебраических выражений. Поэтому важно уметь пользоваться формулами в обоих направлениях.
Почему (a+b)^3 нельзя заменить на a^3+b^3?
Куб суммы означает (a + b)(a + b)(a + b), поэтому при умножении возникают не только a³ и b³, но и смешанные слагаемые. Например, (1 + 1)³ = 8, а 1³ + 1³ = 2.
Откуда в формуле появляются коэффициенты 3?
При раскрытии произведения каждый смешанный вид слагаемого получается тремя способами. Например, a²b возникает как a·a·b, a·b·a и b·a·a, поэтому перед ним стоит коэффициент 3.
Как быстро запомнить знаки в формуле куба разности?
Запомни чередование знаков: плюс, минус, плюс, минус. В формуле (a − b)³ отрицательны второй и четвёртый члены.
Что делать, если двучлен записан как 2x-5, а не в виде a-b?
Сначала выдели слагаемые: a = 2x, b = 5, а между ними стоит знак минус. Затем подставь их в формулу куба разности, не забывая возводить в степени всё слагаемое целиком.
Как понять, что многочлен можно свернуть в куб суммы или разности?
Проверь, являются ли первый и последний члены кубами каких-либо выражений. Затем сравни два средних члена с формулой: их коэффициенты должны быть 3, а знаки и степени — подходящими.
30. Возведение в куб суммы и разности
