"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Куб суммы и куб разности помогают быстро раскрывать скобки, а формулы суммы и разности кубов — раскладывать многочлены на множители. В них важно различать знаки и порядок слагаемых: например, при разложении суммы кубов в квадратной скобке стоит −ab, а при разности — +ab. Формулы не нужно заучивать вслепую: их можно получить умножением и проверить обратным раскрытием скобок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Куб суммы — третья степень суммы двух выражений: (a + b)³. Его раскрывают по формуле (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Средние слагаемые нужны потому, что при умножении трёх одинаковых двучленов возникают разные сочетания a и b. Формула помогает раскрывать скобки быстрее, не перемножая их каждый раз заново.
Куб разности — третья степень разности двух выражений: (a − b)³. Для него действует формула (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Здесь важно не потерять знаки: отрицательное b входит в произведение три раза. Формула позволяет раскрыть скобки и упростить выражение, сохранив правильные знаки всех слагаемых.
Сумма кубов — выражение a³ + b³, в котором складываются третьи степени двух выражений. Оно раскладывается так: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Это означает, что многочлен можно представить в виде произведения суммы и квадратного трёхчлена. Такое преобразование удобно, когда нужно разложить выражение на множители.
Разность кубов — выражение a³ − b³, то есть разность третьих степеней. Её формула: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Первый множитель повторяет разность оснований, а во втором знак при ab меняется на плюс. Разложение помогает упростить многочлен и иногда сократить дробь после вынесения общих множителей.
Чтобы получить формулу куба суммы, сначала представим степень как произведение: (a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b). Перемножим первые две скобки и получим a² + 2ab + b², затем умножим результат на третью скобку. После раскрытия выйдут a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³. Собирая подобные слагаемые, получим a³ + 3a²b + 3ab² + b³.
Коэффициенты 1, 3, 3, 1 показывают, сколько раз возникает каждый вид слагаемого при умножении трёх скобок. Например, a²b можно составить, выбрав b в любой одной из трёх скобок, поэтому таких произведений три. Для ab² действует тот же подсчёт, а a³ и b³ получаются только одним способом. В кубе разности вместо каждого b стоит −b, поэтому нечётное число множителей −b даёт минус, а чётное — плюс: отсюда знаки +, −, +, −.
Для суммы кубов сгруппируем слагаемые так: a³ + b³ = a³ + a²b − a²b + b³. Первые два дают общий множитель a², последние два — b, поэтому получаем a²(a + b) − b(a² − b²). Поскольку a² − b² = (a − b)(a + b), после дальнейшего упрощения удобнее проверить предполагаемое разложение: (a + b)(a² − ab + b²). При раскрытии скобок получаются a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³, средние члены сокращаются, остаётся a³ + b³.
Для разности можно сгруппировать выражение как a³ − a²b + a²b − b³. Тогда a²(a − b) + b(a² − b²), а разность квадратов раскладывается на (a − b)(a + b). Вынесение общего двучлена приводит к формуле (a − b)(a² + ab + b²). Проверка раскрытием скобок даёт a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³, то есть a³ − b³.
Выбирай формулу по внешнему виду: три одинаковых множителя в степени третьей означают куб суммы или разности, а два отдельных куба со знаком плюс или минус — сумму или разность кубов. Сначала проверь, что каждый член действительно является кубом, например 8x³ = (2x)³. Затем подставь основания вместо a и b, сохраняя знак между ними. В конце раскрой скобки в ответе: если исходное выражение восстановилось, преобразование выполнено верно.
| Вид выражения | Формула |
|---|---|
| (a + b)³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| (a − b)³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) |
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) |
Сначала определи, что именно дано: возведение двучлена в куб или сумма либо разность двух кубов. Затем выбери соответствующую строку таблицы и подставь вместо a и b нужные выражения. Для проверки раскрой скобки в результате.
Раскройте скобки: (x + 2)³. Здесь возводится в куб сумма, поэтому подходит формула куба суммы. Число 2 нужно подставить вместо b и возвести в соответствующие степени вместе с коэффициентами. После подстановки соберём слагаемые по степеням x.
Ответ: x³ + 6x² + 12x + 8. Проверка показывает, что степень x в слагаемых убывает от третьей до нулевой. Это помогает заметить, если при подстановке потерялось слагаемое.
Разложите на множители: 8x³ − 27. Оба члена являются кубами: 8x³ = (2x)³, а 27 = 3³. Между ними стоит минус, значит, применяем формулу разности кубов. В роли a выступает 2x, а в роли b — 3.
Ответ: (2x − 3)(4x² + 6x + 9). Проверь, что (2x)² равно 4x²: в квадрат возводятся и число, и буква. При раскрытии скобок смешанные слагаемые сократятся, останется 8x³ − 27.
Разложите на множители: (x + 1)³ − 8x − 8. Здесь не видно двух кубов сразу, поэтому сначала преобразуем последние слагаемые: −8x − 8 = −8(x + 1). Теперь выражение содержит общий двучлен x + 1, и его можно вынести за скобки. Оставшееся выражение станет разностью квадратов, но формула суммы или разности кубов здесь не требуется.
Ответ: (x + 1)(x² + 2x − 7). Чтобы проверить результат, умножь первый множитель на каждый член второго. Получатся (x + 1)³ − 8x − 8, то есть исходное выражение.
Ошибка: записать (a + b)³ как a³ + b³. Так забывают средние слагаемые, потому что ошибочно распределяют степень по сложению. Проверь себя раскрытием трёх скобок или подстановкой a = b = 1: слева получится 8, а выражение a³ + b³ даст только 2.
В формуле (a − b)³ иногда ставят минус перед каждым слагаемым. Причина в том, что ученик запоминает знак разности, но не учитывает, сколько раз множитель −b входит в каждый член. Правильный порядок знаков — плюс, минус, плюс, минус; его можно проверить умножением (a − b)(a − b)(a − b).
При разложении кубов путают знак среднего члена квадратного множителя. Для суммы кубов используется a² − ab + b², а для разности — a² + ab + b². Запомнить это помогает проверка: при раскрытии смешанные члены должны попарно сократиться, иначе знак выбран неверно.
Ещё одна ошибка — считать, что (2x)³ = 2x³. При возведении одночлена в степень в эту степень возводятся и числовой коэффициент, и буквенная часть: (2x)³ = 2³x³ = 8x³. Перед применением формулы проверь куб каждого слагаемого отдельно, а после разложения раскрой скобки и сравни результат с исходным выражением.
Для работы с формулами нужно уметь возводить одночлены в степень, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти навыки позволяют получить формулы умножением и проверять преобразования. Сами формулы пригодятся при разложении многочленов на множители и преобразовании выражений. Разложение на множители также помогает сокращать дроби, если в числителе и знаменателе появились общие множители.
Почему в кубе суммы появляются слагаемые 3a²b и 3ab²?
Куб суммы — это произведение (a + b)(a + b)(a + b). При раскрытии скобок слагаемое a²b получается тремя способами: выбрать b из одной скобки, а из двух остальных — a. Поэтому оно встречается три раза; так же трижды возникает ab².
Как не перепутать знаки в формуле куба разности?
Запомни формулу с чередованием знаков: a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Знаки можно проверить, раскрыв скобки в произведении (a − b)(a − b)(a − b).
Как понять, что выражение является суммой или разностью кубов?
Проверь, можно ли каждый член представить как третью степень числа или одночлена: например, 8x³ = (2x)³, а 27 = 3³. Затем посмотри на знак между кубами: плюс означает сумму, минус — разность.
Почему при разложении суммы кубов в скобках стоит −ab?
При умножении (a + b)(a² − ab + b²) средние члены взаимно уничтожаются: −a²b сокращается с +a²b, а −ab² — с +ab². Если поставить +ab, такого сокращения не будет и получится другое выражение.
Можно ли применять формулу суммы кубов, если слагаемые записаны не в виде очевидных кубов?
Можно, если сначала преобразовать слагаемые и увидеть их третьи степени. Например, 8x³ + 27 можно записать как (2x)³ + 3³, после чего применить формулу суммы кубов.
§ 13. Куб суммы и куб разности. Сумма и разность кубов
