29. Квадрат суммы нескольких слагаемых

Определения и обозначения

Квадратом суммы называют произведение суммы на саму себя: (a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c). Буквы a, b и c обозначают любые числа или выражения, а показатель 2 указывает, что всю сумму нужно взять два раза как множитель. Это определение нужно, чтобы правильно раскрывать скобки, а не ошибочно возводить в квадрат только отдельные слагаемые.

Слагаемые — это части выражения, соединённые знаками сложения или вычитания; вычитание можно понимать как прибавление отрицательного числа. Например, у суммы x + 4 − y три слагаемых: x, 4 и −y. Такое понимание помогает учитывать знаки при составлении произведений и не терять отрицательные слагаемые.

Парным произведением называют произведение двух разных слагаемых из данной суммы, например ab или ac в выражении a + b + c. В формуле квадрата суммы каждое такое произведение появляется дважды, поэтому его записывают с коэффициентом 2. Это обозначение позволяет компактно показать результат раскрытия скобок и проверить, что учтены все пары.

Как это устроено

Чтобы понять правило, начнём с определения: (a + b + c)² = (a + b + c)(a + b + c). При умножении скобок каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. Поэтому получаются девять произведений: a², ab, ac, ba, b², bc, ca, cb и c².

Произведения ab и ba равны, потому что от перестановки множителей произведение не меняется. Так же объединяются ac и ca, а также bc и cb. Каждая пара одинаковых произведений даёт удвоенное произведение, поэтому получается формула (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.

Для двух слагаемых тот же ход приводит к формуле (a + b)² = a² + 2ab + b². Здесь есть два квадрата и только одна пара слагаемых, значит, появляется одно удвоенное произведение. Если в сумме больше слагаемых, квадраты по-прежнему берутся для каждого из них, а парные произведения составляются для каждой возможной пары.

Например, в сумме a + b + c + d четыре слагаемых. Квадраты будут a², b², c² и d², а пары — ab, ac, ad, bc, bd и cd. Каждое парное произведение удваивается, поэтому результат содержит 4 квадрата и 6 удвоенных произведений. Перечисление пар по порядку помогает не пропустить произведение и не записать одну пару дважды.

Знаки слагаемых тоже участвуют в умножении. Если сумма имеет вид a − b + c, её можно записать как a + (−b) + c; тогда, например, парное произведение a(−b) равно −ab. Поэтому формула не меняется, но знаки отдельных произведений нужно вычислять с учётом знаков множителей.

Формулы квадрата суммы

Найдите в левом столбце выражение с нужным числом слагаемых и сопоставьте его с раскрытой формой. В правом столбце сначала выписаны квадраты всех слагаемых, затем — удвоенные произведения всех пар. Если слагаемых больше четырёх, используйте тот же порядок: квадраты отдельно, пары — по очереди.

Разбор задач

Раскроем скобки в выражении (2x + 3 + y)². Здесь три слагаемых: 2x, 3 и y, поэтому в результате должны быть три квадрата и три удвоенных произведения. Сначала применим формулу для трёх слагаемых, а затем аккуратно вычислим каждый член.

1. Запишем формулу: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc. Она подходит, потому что в скобках находятся три слагаемых.
2. Подставим вместо a выражение 2x, вместо b число 3, вместо c выражение y: (2x + 3 + y)² = (2x)² + 3² + y² + 2 · 2x · 3 + 2 · 2x · y + 2 · 3 · y. Каждый член формулы связан либо с одним слагаемым, либо с отдельной парой.
3. Вычислим квадраты: (2x)² = 4x², 3² = 9, а y² остаётся y². При возведении 2x в квадрат нужно возвести в квадрат и коэффициент 2, и переменную x.
4. Вычислим парные произведения: 2 · 2x · 3 = 12x, 2 · 2x · y = 4xy, 2 · 3 · y = 6y. Каждое произведение содержит множители двух разных слагаемых и коэффициент 2.
5. Соберём результат: (2x + 3 + y)² = 4x² + 9 + y² + 12x + 4xy + 6y. Слагаемые можно расположить в другом порядке, если их значения и знаки не меняются.

Ответ: 4x² + y² + 4xy + 12x + 6y + 9. Проверка по числу членов показывает, что в ответе есть три квадрата и три парных произведения. Для дополнительной проверки можно подставить вместо x и y простые числа и сравнить значение исходного выражения с результатом.

Типичные ошибки

• Записывают (a + b + c)² как a² + b² + c², забывая парные произведения. Обычно так происходит, когда ученик переносит правило возведения в квадрат на сумму без раскрытия скобок. Проверьте результат умножением двух скобок: в нём обязательно появятся ab, ac и bc, причём каждое произведение встретится дважды.

• Добавляют произведения, но не удваивают их: например, пишут ab вместо 2ab. Причина в том, что замечают только один порядок множителей и не учитывают ba. Для самопроверки раскройте скобки по распределительному закону и объедините одинаковые произведения.

• Пропускают одну пару или повторяют её, например записывают 2ab два раза и забывают 2ac. Это легко сделать, если перечислять произведения бессистемно. Выписывайте пары по порядку: сначала с первым слагаемым, затем пары, начинающиеся со второго, и сверяйте их число.

• Неверно определяют знак произведения, если среди слагаемых есть отрицательное число, например в сумме a − b + c. Ошибку допускают, считая, что знак минус «теряется» при возведении всей суммы в квадрат. Замените вычитание сложением отрицательного слагаемого и проверьте знак каждого парного произведения отдельно.

Связь с другими темами

Правило опирается на распределительное свойство умножения: именно оно позволяет перемножить скобки и получить все парные произведения. Для суммы двух слагаемых оно приводит к знакомой формуле квадрата суммы, а формула для трёх и более слагаемых продолжает тот же способ рассуждения. Раскрытие скобок понадобится при упрощении буквенных выражений и вычислении многочленов.

Квадрат суммы также связан с квадратом разности: разность можно представить как сумму с отрицательным слагаемым. Поэтому при переходе от одной формулы к другой важно следить за знаками произведений. Умение пользоваться этими правилами помогает проверять равенства подстановкой чисел.

Что запомнить

• Квадрат суммы — это произведение суммы на саму себя.
• В результате есть квадрат каждого слагаемого и удвоенное произведение каждой пары разных слагаемых.
• Для трёх слагаемых: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc.
• При наличии отрицательных слагаемых знаки произведений определяются обычными правилами умножения.
• Чтобы проверить ответ, раскройте скобки умножением или пересчитайте квадраты и пары.