"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, где a не равно нулю. Его можно разложить на множители, то есть заменить произведением более простых выражений. Такое представление помогает находить значения переменной, при которых трёхчлен обращается в ноль, и решать квадратные уравнения. Для выражения x² + px + q часто достаточно подобрать два числа: их сумма должна быть равна p, а произведение — q.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадратный трёхчлен — многочлен вида ax² + bx + c, где a ≠ 0. Буквы a, b и c обозначают числа: a — коэффициент при x², b — коэффициент при x, а c — свободный член, то есть число без переменной. Коэффициент a не может быть нулём, иначе слагаемое со второй степенью исчезнет. Это определение помогает распознать квадратный трёхчлен и видеть роль каждого числа.
Корень квадратного трёхчлена — значение переменной, при котором значение всего трёхчлена равно нулю. Чтобы найти корни ax² + bx + c, нужно решить уравнение ax² + bx + c = 0. Например, если при x = 2 выражение становится равным нулю, то 2 — его корень. Это понятие нужно, чтобы находить решения соответствующих квадратных уравнений.
Разложение квадратного трёхчлена на множители — представление его в виде произведения выражений попроще, например линейных множителей вида x + m. После разложения можно приравнять каждый множитель к нулю и найти значения переменной. Такой способ связывает преобразование выражения с поиском корней. Проверить разложение можно, снова раскрыв скобки.
Название «квадратный трёхчлен» описывает две особенности выражения. В нём три слагаемых: ax², bx и c, а самая большая степень переменной — вторая. Слово «квадратный» указывает на наличие x², а «трёхчлен» — на число слагаемых. При этом коэффициент может быть отрицательным, а отдельные слагаемые иногда равны нулю, но выражение всё равно рассматривают по его общему виду.
Если известны корни x₁ и x₂ трёхчлена, его можно представить так: ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). При подстановке x = x₁ первый линейный множитель становится нулём, а при x = x₂ нулём становится второй. Произведение с нулевым множителем равно нулю, поэтому оба значения действительно обращают трёхчлен в ноль. Множитель a сохраняют, чтобы после раскрытия скобок коэффициент при x² остался равен исходному a.
Для трёхчлена x² + px + q удобно искать разложение по двум числам. Если взять числа m и n, то (x + m)(x + n) при раскрытии скобок даст x² + (m + n)x + mn. Значит, сумма m и n должна равняться p, а произведение — q. Этот способ работает потому, что именно сумма образует коэффициент при x, а произведение становится свободным членом.
Раскрытие скобок служит проверкой, потому что возвращает произведение к исходному многочлену. Например, если получены множители (x + 2)(x + 3), их раскрытие должно дать x² + 5x + 6. Если вместо нужного коэффициента при x получается другое число, значит, выбранные числа или знаки неверны. Проверяй также свободный член: он должен совпадать с исходным.
Если подходящие числа не удаётся подобрать, это ещё не доказывает, что разложение невозможно. Можно было ошибиться в знаках, неверно прочитать коэффициенты или применить способ для x² + px + q к выражению с другим коэффициентом при x². Сначала внимательно перепроверь исходный трёхчлен и условия подбора. Затем реши, подходит ли к нему изученный способ, и проверь все преобразования раскрытием скобок.
| Случай | Что искать | Вид разложения | Проверка |
|---|---|---|---|
| Общий вид ax² + bx + c | Коэффициенты a, b и c; общий множитель | Вынести общий множитель, если он есть; затем подобрать подходящие множители | Раскрыть скобки и сравнить коэффициенты |
| Трёхчлен x² + px + q | Числа с суммой p и произведением q | (x + m)(x + n), где m + n = p и mn = q | Раскрыть скобки: должны получиться p и q |
| Известны два корня | Значения x₁ и x₂ | a(x − x₁)(x − x₂) | Подстановка каждого корня обращает один множитель в ноль |
| Проверка разложения | Совпадение всех коэффициентов | Повторно раскрыть скобки и привести подобные слагаемые | Полученное выражение должно совпасть с исходным |
Сначала определи, к какому случаю относится выражение: например, равен ли коэффициент при x² единице и известны ли корни. Затем найди указанные в таблице числа или множители и запиши разложение. В конце обязательно раскрой скобки: это проверит и знаки, и коэффициенты.
Разложим на множители выражение x² + 5x + 6. Коэффициент при x² равен единице, поэтому можно применить подбор двух чисел: их сумма должна дать 5, а произведение — 6. Проверим пары множителей числа 6 и выберем ту, сумма которой подходит.
При раскрытии скобок получился исходный трёхчлен, значит, подбор верен. Ответ: x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). Здесь мы нашли множители, но корни соответствующего уравнения можно было бы получить, приравняв каждый из них к нулю.
Теперь разложим x² − 7x + 12 и найдём корни уравнения x² − 7x + 12 = 0. Нужно подобрать числа с произведением 12 и суммой −7. Поскольку произведение положительное, числа одного знака, а отрицательная сумма подсказывает, что оба должны быть отрицательными.
Произведение равно нулю, если хотя бы один его множитель равен нулю. Поэтому получаем корни x = 3 и x = 4. Ответ: x² − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4); корни уравнения — 3 и 4.
Разложим на множители 2x² − 8x + 6. Коэффициент при x² не равен единице, поэтому сначала посмотрим, есть ли общий множитель у всех слагаемых. Здесь каждое слагаемое делится на 2; вынесем его, а затем разложим выражение в скобках подбором чисел.
Общий множитель 2 нужно сохранить: без него коэффициенты исходного выражения не совпали бы. После проверки видим, что разложение верно. Ответ: 2x² − 8x + 6 = 2(x − 1)(x − 3).
При разложении x² + px + q иногда путают условие для суммы и произведения. Это происходит, если одновременно подбирать два числа и не проверять отдельно каждый результат: сумма задаёт коэффициент при x, а произведение — свободный член. Запиши оба условия рядом с выражением и подставь найденную пару. После этого раскрой множители, чтобы убедиться, что оба числа появились на нужных местах.
Ошибки со знаками особенно часто возникают, если коэффициент при x или свободный член отрицателен. Например, положительное произведение и отрицательная сумма требуют двух отрицательных чисел, а не двух положительных. Перед записью множителей проверь знаки выбранной пары и её сумму. Затем раскрой скобки: неправильный знак изменит один из коэффициентов.
Если коэффициент при x² не равен единице, можно забыть вынести общий множитель и сразу подбирать числа по правилу для x² + px + q. Так легко получить множители, которые после раскрытия дают неверные коэффициенты. Сначала проверь, делятся ли все слагаемые на одно и то же число, и вынеси его за скобки. Потом разлагай оставшийся трёхчлен и не теряй вынесенный множитель.
Иногда найденное произведение считают верным, не проверяя его раскрытием скобок. Внешне множители могут выглядеть подходящими, хотя их сумма или произведение даёт другой коэффициент. Перемножь каждый член первой скобки на каждый член второй и приведи подобные слагаемые. Сверь с исходной записью коэффициент при x², коэффициент при x и свободный член.
Для разложения нужно уверенно умножать многочлены: именно так проверяют произведение линейных множителей. Формулы сокращённого умножения тоже помогают преобразовывать выражения и распознавать произведения. Навык разложения пригодится при решении квадратных уравнений: если произведение множителей равно нулю, можно найти корни, приравняв множители к нулю. Так преобразование многочлена становится способом решения уравнения.
Почему выражение ax² + bx + c называется квадратным трёхчленом?
В нём есть три слагаемых: ax², bx и c, а наибольшая степень переменной x равна двум. Слово «квадратный» связано именно со второй степенью.
Чем корень квадратного трёхчлена отличается от его коэффициента?
Коэффициенты a, b и c — числа, которые стоят при слагаемых выражения. Корень — это значение переменной, при котором всё выражение равно нулю.
Как подобрать числа для разложения x² + px + q?
Нужно найти числа, сумма которых равна p, а произведение равно q. Если в разложении получаются множители (x + m)(x + n), то m + n = p и mn = q.
Что делать, если коэффициент при x² не равен единице?
Сначала проверь, можно ли вынести общий множитель. После этого разложи оставшееся выражение подходящим способом и раскрой скобки для проверки.
Как проверить, правильно ли разложен квадратный трёхчлен?
Раскрой скобки в полученном произведении и приведи подобные слагаемые. Если вышло исходное выражение со всеми теми же коэффициентами, разложение верно.
28. Квадратный трехчлен
