"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Полный квадрат трёхчлена можно представить как квадрат двучлена: a² + 2ab + b² = (a + b)² или a² − 2ab + b² = (a − b)². Такое преобразование называется разложением на множители и помогает упростить выражения, решать уравнения и продолжать разложение многочленов. Чтобы распознать нужную формулу, проверь крайние члены и сравни средний с удвоенным произведением их корней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разложение на множители — это представление выражения в виде произведения нескольких множителей. Например, вместо трёхчлена можно записать квадрат двучлена, то есть произведение одинаковых скобок. В этом параграфе для разложения распознают полный квадрат по специальному признаку. Такое преобразование помогает упростить вычисления и решать задачи, в которых выражение нужно представить произведением.
Квадрат суммы — это выражение a² + 2ab + b², которое равно (a + b)². Буквы a и b могут обозначать числа или другие выражения, например одночлены. Среднее слагаемое 2ab связывает крайние квадраты a² и b². Если трёхчлен имеет такой вид, его можно заменить квадратом суммы.
Квадрат разности — это выражение a² − 2ab + b², которое равно (a − b)². Крайние слагаемые здесь такие же, как в квадрате суммы, но среднее слагаемое отрицательное. Поэтому в скобках стоит знак минус. Распознавание этой формы позволяет записывать трёхчлен как произведение двух одинаковых двучленов.
Формулу квадрата суммы можно применять в обратном направлении: a² + 2ab + b² превращается в (a + b)². Это возможно потому, что раскрытие скобок в квадрате суммы даёт именно три слагаемых: квадраты каждого члена и их удвоенное произведение. Например, x² + 6x + 9 = (x + 3)², так как 9 = 3², а 6x = 2 · x · 3. В результате три слагаемых объединяются в одну квадратную скобку.
Формулу квадрата разности также применяют наоборот: a² − 2ab + b² записывают как (a − b)². При умножении (a − b)(a − b) крайние слагаемые дают a² и b², а два произведения −ab складываются в −2ab. Например, x² − 10x + 25 = (x − 5)². Отрицательный знак в среднем слагаемом показывает, что в двучлене нужно взять разность.
Чтобы распознать полный квадрат, сначала посмотри на первое и последнее слагаемые: каждое должно быть квадратом некоторого выражения. Затем извлеки из них квадратные корни и найди удвоенное произведение этих корней. Оно должно совпасть со средним слагаемым по числу и буквенной части. Если совпадения нет, трёхчлен нельзя разложить по этим формулам, даже когда его крайние члены являются квадратами.
Знак в скобках выбирают по среднему члену. Если среднее слагаемое положительное, оно имеет вид +2ab и подходит формула квадрата суммы; если отрицательное — −2ab и подходит формула квадрата разности. Например, при корнях 2x и 3y средний член +12xy даёт (2x + 3y)², а −12xy — (2x − 3y)². Проверка удвоенного произведения помогает не перепутать знаки.
Перед применением формулы проверь, есть ли общий множитель у всех слагаемых. Если он есть, вынеси его за скобки и исследуй оставшийся трёхчлен: его крайние члены могут оказаться квадратами. После разложения раскрой скобки и сравни результат с исходным выражением. Такой способ проверки обнаруживает потерянные коэффициенты, переменные и неверный знак.
| Признак | Квадрат суммы | Квадрат разности |
|---|---|---|
| Первый и последний члены | a² и b² | a² и b² |
| Средний член | +2ab | −2ab |
| Форма разложения | (a + b)² | (a − b)² |
| Пример | x² + 6x + 9 = (x + 3)² | x² − 6x + 9 = (x − 3)² |
Пользуйся таблицей слева направо: сначала проверь крайние члены, затем средний. После этого выбери формулу по знаку среднего слагаемого. Если хотя бы один признак не совпадает, не спеши записывать квадрат двучлена.
Сначала проверим, могут ли крайние слагаемые быть квадратами: x² — это квадрат x, а 16 — квадрат 4. Теперь сравним среднее слагаемое с удвоенным произведением найденных корней: 2 · x · 4 = 8x. Совпадение показывает, что перед нами квадрат суммы.
Ответ: (x + 4)². Проверка раскрытием скобок даёт x² + 4x + 4x + 16, то есть исходный трёхчлен. Два одинаковых произведения 4x складываются в средний член 8x.
Крайние слагаемые — квадраты: 25a² = (5a)², а 9b² = (3b)². Удвоенное произведение их корней равно 2 · 5a · 3b = 30ab. В исходном выражении средний член отрицательный и равен −30ab, поэтому выбираем квадрат разности.
Ответ: (5a − 3b)². При проверке получаем 25a² − 15ab − 15ab + 9b². После сложения средних слагаемых снова выходит −30ab.
Все три слагаемых делятся на 2, поэтому удобнее сначала вынести этот общий множитель. В оставшемся выражении крайние члены x² и 9y² — квадраты x и 3y. Среднее слагаемое 6xy равно 2 · x · 3y, значит, в скобках получился квадрат суммы.
Ответ: 2(x + 3y)². Для проверки раскроем квадрат: (x + 3y)² = x² + 6xy + 9y². Умножение результата на 2 возвращает все три исходных слагаемых.
Ошибка: принять трёхчлен за полный квадрат только потому, что его крайние члены являются квадратами. Это происходит, если среднее слагаемое не проверяют; например, x² + 5x + 9 не соответствует квадрату двучлена с крайними корнями x и 3. Проверь, равно ли среднее слагаемое удвоенному произведению корней: здесь должно было бы быть 6x, а не 5x. Если равенства нет, формулу применять нельзя.
Ошибка: сравнить среднее слагаемое просто с произведением корней и забыть множитель 2. Так делают, потому что при беглом взгляде учитывают лишь один из двух перекрёстных членов при раскрытии скобок. Например, для корней x и 4 нужен член 8x, а не 4x. Перед выбором формулы всегда вычисляй 2ab целиком.
Ошибка: выбрать знак в скобках независимо от знака среднего члена. При отрицательном среднем слагаемом квадрат суммы даст неверный знак после раскрытия скобок, поэтому требуется квадрат разности. Раскрой полученный двучлен в квадрате и проверь знак двух средних произведений: при вычитании они отрицательные, при сложении — положительные.
Ошибка: потерять коэффициент или переменную при извлечении корня, например считать, что корень из 25a² — это 5. Корень равен 5a, поскольку (5a)² = 25a²; подобная потеря обычно возникает, когда корень ищут только у числа. Возведи найденное выражение в квадрат и сравни с исходным членом, учитывая и коэффициент, и буквенную часть.
Для работы с квадратами суммы и разности нужно знать соответствующие формулы умножения многочленов и уметь находить квадраты одночленов. Полезно также выносить общий множитель за скобки: иногда только после этого виден полный квадрат. Раскрытие скобок помогает проверить полученное произведение. Распознавание полных квадратов пригодится при решении уравнений, упрощении выражений и дальнейшем разложении многочленов на множители.
Как понять, что трёхчлен является квадратом двучлена?
Проверь, являются ли первый и последний члены квадратами. Затем найди их корни и убедись, что средний член равен удвоенному произведению этих корней с подходящим знаком. Если все условия выполняются, трёхчлен можно записать как квадрат двучлена.
Почему средний член должен быть удвоенным произведением корней крайних членов?
При возведении суммы в квадрат каждый из двух членов появляется дважды: (a + b)² = a² + ab + ab + b². Поэтому средний член равен 2ab. Для разности получается −2ab.
Как определить, будет в скобках плюс или минус?
Сравни знак среднего члена с формулами. Положительный средний член соответствует квадрату суммы, а отрицательный — квадрату разности.
Можно ли сначала вынести общий множитель, а потом применить формулу?
Да, если все члены выражения делятся на один и тот же множитель. Сначала вынеси его за скобки, а затем проверь, не является ли выражение в скобках полным квадратом.
Как проверить, правильно ли выполнено разложение на множители?
Раскрой скобки в полученном произведении. Если после приведения подобных слагаемых вышло исходное выражение, разложение выполнено правильно.
27. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности
