26. Возведение в квадрат суммы и разности

Определения и обозначения

Квадрат суммы двух выражений — это произведение суммы на саму себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). Здесь a и b обозначают любые числа или выражения, а верхний индекс 2 означает умножение выражения на себя. Такое обозначение позволяет записывать произведение короче и затем раскрывать скобки по правилам умножения.

Квадрат разности двух выражений — это произведение разности на саму себя: (a − b)² = (a − b)(a − b). Знак минус относится ко всему второму слагаемому, поэтому при умножении учитывается как в средних произведениях, так и в последнем. Это определение помогает правильно раскрывать скобки и не терять знаки.

Удвоенное произведение слагаемых — это произведение a и b, взятое два раза, то есть 2ab. Оно появляется при умножении суммы или разности на себя, потому что возникают два одинаковых произведения слагаемых. Этот член называют средним, так как в готовой формуле он стоит между квадратами слагаемых.

Как это устроено

Чтобы вывести формулу квадрата суммы, сначала заменим квадрат произведением суммы на себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). Раскроем скобки, умножая каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй: a² + ab + ba + b². Слагаемые ab и ba равны, поэтому их можно заменить на 2ab. Получаем формулу (a + b)² = a² + 2ab + b².

Средний член равен 2ab не случайно: одно произведение ab возникает, когда a умножают на b, а второе — когда b умножают на a. Переместительный закон умножения говорит, что ab = ba. Поэтому два одинаковых произведения складываются и дают удвоенное произведение слагаемых. Если забыть один из этих двух вкладов, результат будет неполным.

Для квадрата разности также запишем произведение выражения на себя: (a − b)² = (a − b)(a − b). При раскрытии скобок получаем a² − ab − ba + b². Оба средних произведения отрицательны, потому что в каждом из них положительное слагаемое умножается на −b. После приведения подобных слагаемых выходит формула (a − b)² = a² − 2ab + b².

Последний член в обеих формулах положительный, поскольку это квадрат второго слагаемого. В случае разности оно равно −b, а произведение (−b)(−b) положительно и равно b². Значит, знак минус влияет на средний член, но не делает последний квадрат отрицательным. При сумме последний член получается как b · b и тоже равен b².

Формулы удобно применять, когда нужно раскрыть скобки или упростить выражение: достаточно определить, какое слагаемое стоит первым, какое — вторым, и проверить знак между ними. Например, в выражении с буквами каждое слагаемое возводят в квадрат целиком, а затем добавляют или вычитают их удвоенное произведение. С числами работают точно так же: представляют число суммой или разностью удобных слагаемых. Такой приём часто упрощает вычисления, потому что круглые числа легко возводить в квадрат.

Формулы квадрата суммы и разности

Сначала определи, сумма или разность стоит в скобках, затем выбери нужную строку таблицы. В обеих формулах возводятся в квадрат первое и второе слагаемые, а знак среднего члена зависит от знака между ними. После подстановки выражений проверь, что второе слагаемое также возведено в квадрат полностью.

Разбор задач

Раскройте скобки: (x + 3)².

1. В скобках стоит сумма, поэтому используем формулу (a + b)² = a² + 2ab + b².
2. Сопоставим слагаемые: a = x, b = 3. Возводим каждое в квадрат и находим удвоенное произведение: x², 2 · x · 3 и 3².
3. Вычисляем числа и записываем результат: x² + 6x + 9. Слагаемые нельзя объединить, так как они не подобны.

Ответ: x² + 6x + 9.

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: (2a − 5b)².

1. Это квадрат разности, поэтому среднее слагаемое будет отрицательным. Применяем формулу (u − v)² = u² − 2uv + v², где u = 2a, v = 5b.
2. Возводим в квадрат каждый множитель целиком: (2a)² = 4a², а (5b)² = 25b². Средний член равен −2 · 2a · 5b = −20ab.
3. Собираем результаты: 4a² − 20ab + 25b². Подобных слагаемых здесь нет, поэтому дальше упростить выражение нельзя.

Ответ: 4a² − 20ab + 25b².

Вычислите 51², представив число как 50 + 1.

1. Записываем число в виде суммы: 51² = (50 + 1)². Такой выбор удобен, потому что квадрат 50 и произведение с 50 легко вычислить.
2. Применяем формулу квадрата суммы: (50 + 1)² = 50² + 2 · 50 · 1 + 1².
3. Вычисляем каждый член: 2500 + 100 + 1 = 2601. Проверяем, что среднее слагаемое учтено дважды, как требует формула.

Ответ: 2601.

Типичные ошибки

Ошибка: записать (a + b)² = a² + b² и забыть средний член. Так происходит, если правило возведения произведения в квадрат неверно переносят на сумму: квадрат суммы не равен сумме квадратов. Проверь себя, раскрыв скобки как произведение (a + b)(a + b). В раскрытии обязательно появятся два произведения ab.

Ошибка: поставить −b² последним членом формулы квадрата разности. Минус перед b в скобках умножается на такой же минус, поэтому (−b)(−b) = b². Для проверки отдельно выпиши произведение второго слагаемого на себя. Оно всегда даёт квадрат, а квадрат числа не бывает отрицательным.

Ошибка: потерять минус у среднего члена в квадрате разности. Он возникает из произведений a · (−b) и (−b) · a, каждое из которых отрицательно. Чтобы проверить знак, раскрой скобки обычным умножением, не пытаясь запомнить результат наугад. Два отрицательных средних слагаемых дают −2ab.

Ошибка: возвести в квадрат только коэффициент или только переменную, например написать (2a)² = 2a². В квадрат нужно возвести весь множитель: (2a)² = 2² · a² = 4a². Проверка проста: замени 2a произведением 2 · a и возведи оба множителя в квадрат. Не забывай также возводить в квадрат числовое слагаемое.

Связь с другими темами

Для вывода этих формул нужно уметь умножать многочлены и раскрывать скобки, в частности умножать сумму на сумму. Именно такое умножение показывает, откуда берутся два одинаковых средних произведения. Если уверенно раскрывать скобки, знаки в формулах становятся понятными, а не просто заученными.

Формулы пригодятся при преобразовании многочленов и вычислении квадратов чисел. Позже они помогут выполнять обратное преобразование — разлагать некоторые выражения на множители. Поэтому полезно не только запоминать формулы, но и узнавать в выражении квадрат суммы или разности.

Что запомнить

• (a + b)² = a² + 2ab + b².
• (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Средний член — удвоенное произведение слагаемых.
• Знак среднего члена соответствует знаку между слагаемыми в скобках.
• Последний член в обеих формулах — b².
• Формулы верны для любых чисел и буквенных выражений, для которых определены действия.