"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Квадрат суммы и квадрат разности помогают быстро раскрывать скобки и упрощать выражения. Вместо повторного умножения двучлена на себя можно воспользоваться готовыми тождествами: квадрат суммы равен сумме квадратов с удвоенным произведением, а квадрат разности — разности с тем же удвоенным произведением и квадратом второго слагаемого. Эти формулы работают и с числами, и с выражениями. Главное — не пропустить средний член и правильно определить знаки.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — произведение суммы двух выражений на саму себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). Буквами a и b могут обозначаться числа или другие выражения. Такое обозначение удобно: оно заменяет длинную запись повторного умножения.
Квадрат разности — произведение разности двух выражений на саму себя: (a − b)² = (a − b)(a − b). Здесь знак минус находится внутри скобок, поэтому при раскрытии произведения нужно учитывать знаки обоих множителей. Это помогает не перепутать результат с квадратом суммы.
Формула квадрата суммы — тождество (a + b)² = a² + 2ab + b². Тождеством называют равенство, которое верно при любых допустимых значениях букв. Формула позволяет раскрыть скобки без повторного умножения каждого слагаемого.
Формула квадрата разности — тождество (a − b)² = a² − 2ab + b². В ней средний член имеет знак минус, а квадрат второго слагаемого остаётся положительным. Формула нужна, чтобы быстро раскрывать квадрат двучлена и сокращать вычисления.
Чтобы получить формулу квадрата суммы, запишем квадрат как произведение: (a + b)(a + b). По распределительному свойству умножим каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй: получим a² + ab + ab + b². После сложения одинаковых произведений выходит a² + 2ab + b².
Слагаемое 2ab появляется не случайно: при умножении есть два способа получить произведение a и b. Первое ab получается из a · b, а второе — из b · a. Эти произведения равны, поэтому их можно сложить и заменить на 2ab.
Для квадрата разности раскрываем произведение (a − b)(a − b). Перемножение слагаемых даёт a² − ab − ab + b²: средние произведения отрицательны, поскольку в каждом участвует один множитель −b. Объединяя их, получаем −2ab, поэтому итоговая формула имеет вид a² − 2ab + b².
Последний член при этом положителен, потому что он получается из умножения второго слагаемого на себя: (−b)(−b) = b². Произведение двух отрицательных чисел положительно, так что знак минус в скобках не делает квадрат b отрицательным. Именно поэтому неверно записывать в конце −b².
Формулы верны для любых чисел и выражений, подставленных вместо a и b: это следует из распределительного свойства умножения. Например, вместо a может стоять 2x, а вместо b — 5y. Применение формулы экономит время при раскрытии скобок и упрощении выражений, если внимательно возвести оба слагаемых в квадрат и найти их удвоенное произведение.
| Характеристика | Квадрат суммы | Квадрат разности |
|---|---|---|
| Исходное выражение | (a + b)² | (a − b)² |
| Раскрытие скобок | a² + ab + ab + b² | a² − ab − ab + b² |
| Первое слагаемое результата | a² | a² |
| Средний член | +2ab | −2ab |
| Последнее слагаемое результата | +b² | +b² |
Сначала найди в скобках два слагаемых и определи, стоит между ними плюс или минус. Затем возведи каждое слагаемое в квадрат и запиши удвоенное произведение между ними с нужным знаком. Таблица помогает проверить, что последний член положителен в обоих случаях.
Здесь стоит сумма, поэтому подходит формула квадрата суммы. Первое слагаемое — x, второе — 3. Необходимо отдельно найти квадраты этих слагаемых и их удвоенное произведение.
Средний член равен 6x, потому что число 3 умножается на x и на 2. Ответ: x² + 6x + 9.
Знак минус указывает на формулу квадрата разности, где средний член отрицательный. Первым слагаемым является всё выражение 2a, поэтому в квадрате нужно возвести и коэффициент 2, и букву a. То же правило применяется ко второму слагаемому 5b.
Подобных слагаемых здесь нет, поэтому дальше упростить выражение нельзя. Знак среднего члена минус, а последний член положительный. Ответ: 4a² − 20ab + 25b².
Число 103 близко к 100, квадрат которого легко вычислить. Представим 103 в виде суммы 100 и 3, чтобы применить формулу и выполнить вычисления по частям. Такой приём помогает считать в уме, не перемножая 103 на 103.
В результате получаем квадрат числа 103. Ответ: 10 609.
Пропускают средний член: записывают (a + b)² = a² + b². Так происходит, если квадрат ошибочно распределяют по слагаемым, забывая умножить каждое слагаемое на каждое. Проверь раскрытие произведения (a + b)(a + b): в нём обязательно появятся два произведения ab.
Делают последний член отрицательным: пишут (a − b)² = a² − 2ab − b². Причина — знак минус в скобках переносят на квадрат b, хотя b умножается на −b, а не остаётся отдельным отрицательным слагаемым. Для проверки вычисли квадрат числа в роли b: например, (−3)² = 9, а не −9.
Не удваивают произведение: вместо 2ab записывают ab. Можно заметить эту ошибку, если выписать четыре произведения при раскрытии скобок: два из них будут равны ab. Их сумма — 2ab, поэтому средний член должен содержать множитель 2.
Возводят в квадрат не всё слагаемое: например, ошибочно считают (2x)² равным 2x². Обычно забывают, что степень относится ко всему произведению. Разложи его на множители: (2x)(2x) = 2 · 2 · x · x = 4x²; аналогично проверяй другие слагаемые.
Для вывода формул нужно знать распределительное свойство умножения относительно сложения и вычитания и уметь раскрывать скобки. Освоенные тождества пригодятся при умножении многочленов и упрощении алгебраических выражений: они помогают заменить произведение более удобной суммой. В дальнейшем по этим формулам можно будет преобразовывать выражения и решать задачи на разложение многочленов на множители.
Почему в формуле квадрата суммы появляется слагаемое 2ab?
При умножении (a + b)(a + b) появляются два одинаковых произведения: ab и ab. После сложения они дают 2ab.
Почему при возведении разности в квадрат последний член положительный?
Последний член получается умножением −b на −b. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому (−b)(−b) = b².
Можно ли применить формулу, если вместо a и b стоят многочлены?
Да. Формулы верны для любых чисел и выражений, поэтому вместо букв можно подставлять многочлены. При этом каждое выражение нужно подставлять целиком.
Как правильно возвести в квадрат выражение с коэффициентом, например 3x?
Нужно возвести в квадрат и коэффициент, и переменную: (3x)² = 3² · x² = 9x². Квадрат относится ко всему произведению.
Как понять, какую из двух формул использовать?
Посмотри на знак между слагаемыми в скобках: знак плюс означает квадрат суммы, а знак минус — квадрат разности. Затем подставь выражения вместо a и b, сохраняя порядок слагаемых.
§ 12. Квадрат суммы и квадрат разности
