§ 12. Квадрат суммы и квадрат разности

Определения и обозначения

Квадрат суммы — выражение вида (a + b)². Оно означает, что сумму a + b умножают саму на себя: (a + b)(a + b). Такая запись встречается, когда нужно быстро раскрыть скобки или преобразовать выражение, не выполняя длинное умножение каждый раз.

Квадрат разности — выражение вида (a − b)². Это произведение разности на саму себя: (a − b)(a − b). Знак минус внутри скобок не означает, что всё выражение обязательно отрицательно: при умножении двучлена на себя результат определяется правилом знаков.

Формула квадрата суммы — равенство (a + b)² = a² + 2ab + b². Она позволяет заменить квадрат двучлена суммой трёх слагаемых без последовательного перемножения скобок. Здесь a и b обозначают любые числа или выражения, поэтому формула подходит и для буквенных, и для числовых примеров.

Формула квадрата разности — равенство (a − b)² = a² − 2ab + b². С её помощью квадрат разности сразу записывают как трёхчлен. Нужно помнить, что минус относится к среднему члену, а квадрат b остаётся положительным.

Как это устроено

Чтобы получить формулу квадрата суммы, запишем квадрат как произведение: (a + b)(a + b). По распределительному свойству умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй и получаем a² + ab + ab + b². Крайние произведения дают квадраты a и b, а два одинаковых произведения ab складываются в 2ab. Поэтому результат — a² + 2ab + b².

Для квадрата разности сначала представим его как (a − b)(a − b). При раскрытии скобок выйдет a² − ab − ab + b²: два средних произведения отрицательны, потому что в каждом участвует один множитель −b. Их сумма равна −2ab, а произведение (−b)(−b) положительно и равно b². Так получается a² − 2ab + b².

Сравнение формул помогает не перепутать знаки. В обоих случаях произведение первого члена на самого себя и произведение второго на самого себя дают положительные квадраты. Меняется только знак среднего члена: он повторяет знак между членами в скобках, потому что именно он влияет на два произведения ab.

Применяя формулу, сначала найдите первый и второй члены скобок, а затем подставьте их вместо a и b. Например, в (x + 3)² первый член — x, второй — 3; значит, нужно записать x², удвоенное произведение x и 3, а затем 3². Если член содержит коэффициент, например 2a, целиком возводите его в квадрат при вычислении соответствующего квадрата.

Формулы подходят при любых значениях a и b, поскольку их левая и правая части равны после обычного раскрытия скобок. Распределительное свойство умножения действует и для чисел, и для выражений, поэтому буквенные обозначения не ограничивают правило. Подставив любые значения вместо a и b, мы получим равные результаты с обеих сторон.

Квадрат суммы и квадрат разности

Пользуйтесь таблицей, чтобы проверить порядок слагаемых и знак среднего члена. Сначала определите, сумма или разность стоит в исходных скобках, затем выберите нужный столбец. Последний член в обоих случаях положительный.

Разбор задач

Задача 1. Раскройте скобки: (x + 3)². Здесь двучлен состоит из x и 3, поэтому применяем формулу квадрата суммы, не забывая удвоить произведение этих членов.

1. Определяем: a = x, b = 3.
2. Подставляем в формулу: (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3².
3. Вычисляем: x² + 6x + 9.

Ответ: x² + 6x + 9.

Задача 2. Раскройте скобки: (2a − 5b)². Первый член здесь 2a, а второй — 5b; поскольку между ними стоит минус, средний член будет отрицательным. Каждый член целиком нужно возвести в квадрат, включая его коэффициент.

1. Подставляем a = 2a и b = 5b в формулу: (2a − 5b)² = (2a)² − 2 · 2a · 5b + (5b)².
2. Возводим коэффициенты в квадрат: (2a)² = 4a², (5b)² = 25b².
3. Вычисляем средний член: −2 · 2a · 5b = −20ab.

Ответ: 4a² − 20ab + 25b².

Задача 3. Представьте выражение x² + 14x + 49 в виде квадрата двучлена. Здесь нужно идти в обратную сторону: определить, могут ли крайние слагаемые быть квадратами, а затем проверить среднее.

1. Крайние слагаемые — квадраты: x² = x², 49 = 7².
2. Удваиваем произведение их корней: 2 · x · 7 = 14x, это совпадает со средним членом.
3. Средний член положителен, значит, между членами двучлена будет знак плюс.

Ответ: x² + 14x + 49 = (x + 7)².

Типичные ошибки

Иногда записывают (a + b)² = a² + b², будто квадрат суммы равен сумме квадратов. Так происходит, если забыть, что квадрат — это произведение двух одинаковых скобок: в нём есть два произведения ab. Для проверки раскройте скобки по распределительному свойству и убедитесь, что средний член 2ab никуда не исчез.

В формуле квадрата разности могут поставить минус перед b². Ошибка возникает из-за того, что знак минус внутри скобок переносят на всё, не учитывая умножение отрицательного на отрицательное. Проверьте последний член отдельно: (−b)(−b) = b², значит, перед квадратом второго члена нужен плюс.

В среднем члене забывают множитель 2 или не перемножают оба члена. Причина в том, что одно из двух произведений ab не замечают или останавливаются на произведении коэффициентов. Запишите средний член как 2 · первый член · второй член и проверьте, что в нём учтены все множители.

При возведении выражения с коэффициентом в квадрат иногда считают (2x)² = 2x². Коэффициент 2 — часть всего выражения, поэтому он тоже возводится в квадрат: (2x)² = 2² · x² = 4x². Чтобы проверить результат, представьте квадрат как 2x · 2x и перемножьте отдельно числа и переменные.

Связь с другими темами

Для вывода этих формул нужно уметь раскрывать скобки по распределительному свойству умножения и приводить подобные слагаемые. Новые правила позволяют быстрее упрощать выражения и преобразовывать многочлены. В дальнейшем формулы помогут распознавать полный квадрат трёхчлена — выражение, которое можно записать как квадрат двучлена, — и раскладывать его на множители.

Что запомнить

• (a + b)² = a² + 2ab + b².
• (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Квадрат второго члена в обеих формулах имеет знак плюс.
• Знак среднего члена определяется знаком между членами в скобках.
• Средний член равен удвоенному произведению первого и второго членов.
• Формулы верны при любых значениях входящих в них выражений.