"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Квадрат суммы и квадрат разности — это двучлены, умноженные сами на себя: (a + b)² и (a − b)². При раскрытии скобок получаются квадраты первого и второго слагаемых и удвоенное произведение между ними. Знак этого среднего члена зависит от знака в скобках. Формулы помогают быстрее раскрывать скобки, считать числовые выражения и узнавать квадрат двучлена в многочлене.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — выражение вида (a + b)². Оно означает, что сумму a + b умножают саму на себя: (a + b)(a + b). Здесь a и b обозначают любые слагаемые: числа, переменные или одночлены. Такое обозначение удобно, когда нужно коротко записать повторное умножение суммы.
Квадрат разности — выражение вида (a − b)², то есть разность a − b, умноженная саму на себя: (a − b)(a − b). Буквы a и b снова могут быть числами или выражениями. Знак минус относится ко всей скобке, поэтому при умножении каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. Понимание этой записи помогает не потерять знаки при раскрытии скобок.
Удвоенное произведение — выражение 2ab: произведение a и b взяли два раза. Оно появляется при раскрытии квадрата двучлена, потому что умножение скобок даёт два одинаковых перекрёстных произведения. Знак перед ним бывает плюсом или минусом. Это понятие помогает правильно записать средний член формулы и проверить результат.
Чтобы вывести формулу квадрата суммы, сначала заменяем степень умножением: (a + b)² = (a + b)(a + b). Раскрываем скобки: a · a + a · b + b · a + b · b, то есть a² + ab + ab + b². Два средних слагаемых одинаковы, поэтому их можно сложить: ab + ab = 2ab. Получаем (a + b)² = a² + 2ab + b².
Для квадрата разности также записываем умножение: (a − b)² = (a − b)(a − b). После раскрытия скобок имеем a² − ab − ab + b². Оба средних произведения отрицательны: в каждом из них положительное a умножается на отрицательное −b, или наоборот. Поэтому их сумма равна −2ab, и формула принимает вид (a − b)² = a² − 2ab + b².
Сравнение формул показывает, что крайние слагаемые всегда одинаковы: это квадраты a и b. Меняется только знак среднего члена: при сумме он равен +2ab, при разности — −2ab. Причина в знаках перекрёстных произведений при умножении скобок. Значит, знак среднего члена можно определить по знаку между слагаемыми исходного двучлена.
Формулы позволяют возводить двучлен в квадрат без повторного полного умножения скобок. В выражении (x + 5)² слагаемыми служат x и 5: результат равен x² + 10x + 25. Числовое выражение тоже можно представить как квадрат суммы или разности: (20 − 3)² = 20² − 2 · 20 · 3 + 3² = 289. При этом полезно записать все три части формулы, чтобы не пропустить средний член.
Формулу можно распознавать и в обратном направлении. В многочлене a² + 2ab + b² крайние члены являются квадратами a и b, а средний равен их удвоенному произведению, поэтому многочлен равен (a + b)². Если средний член равен −2ab, получаем (a − b)². Для проверки недостаточно найти квадраты в начале и конце: средний член тоже должен точно совпасть.
| Выражение | Формула | Средний член |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | +2ab |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | −2ab |
При раскрытии скобок сначала определи, где сумма, а где разность, затем возведи в квадрат оба слагаемых и найди удвоенное произведение. Таблица помогает быстро выбрать знак среднего члена. При обратном узнавании проверь все три слагаемых, а не только крайние.
Здесь возводится в квадрат сумма переменной x и числа 3. Значит, применяем формулу квадрата суммы и подставляем a = x, b = 3. Сохраняем все три члена формулы, включая удвоенное произведение.
Ответ: x² + 6x + 9.
Это квадрат разности, где первое слагаемое — 2a, а второе — 5b. В формуле вместо a и b подставляем целые слагаемые вместе с коэффициентами. Особенно внимательно считаем средний член: он равен −2 · 2a · 5b.
Ответ: 4a² − 20ab + 25b². Проверка знака показывает, что средний член отрицательный, поскольку в скобках стоит минус.
Сначала ищем, какие одночлены при возведении в квадрат дают первый и последний члены. Это 3x, потому что (3x)² = 9x², и 4y, потому что (4y)² = 16y². Затем проверяем средний член: удвоенное произведение этих одночленов равно 2 · 3x · 4y = 24xy. В многочлене стоит −24xy, значит, подходит квадрат разности.
Ответ: 9x² − 24xy + 16y² = (3x − 4y)².
Ошибка: записать (a + b)² = a² + b². Так бывает, если возвести в квадрат каждое слагаемое отдельно и забыть перекрёстные произведения. При умножении скобок возникают ab и ab, вместе они дают 2ab. Для проверки разложи квадрат как (a + b)(a + b) и проследи, чтобы все произведения попали в ответ.
Ошибка: написать средний член ab вместо 2ab. Причина — учесть только одно из двух одинаковых произведений при раскрытии скобок. Перемножь каждый член первой скобки с каждым членом второй: перекрёстных произведений будет два. Если они одинаковы, сложи их и проверь, что перед ab появился коэффициент 2.
Ошибка: поставить плюс перед средним членом в формуле квадрата разности. При раскрытии (a − b)(a − b) оба перекрёстных произведения отрицательны: −ab и −ab. Поэтому средний член равен −2ab. Для проверки раскрой скобки и посмотри на знаки именно перекрёстных произведений.
Ошибка: возвести в квадрат только первое слагаемое или забыть квадрат второго. Такое может произойти, если формулу вспоминают частично и не проверяют крайние члены. В квадрате двучлена в квадрат возводятся оба слагаемых, а между их квадратами стоит удвоенное произведение. Сверь ответ с тремя частями формулы: квадрат первого, средний член, квадрат второго.
Для вывода формул нужно уметь умножать многочлен на многочлен, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Именно эти действия показывают, откуда берётся удвоенное произведение и какой у него знак. Если уверенно выполнять их, формулы легче не только запомнить, но и проверить.
Квадраты суммы и разности пригодятся при упрощении выражений, быстрых вычислениях и преобразовании многочленов. Например, по ним можно разложить многочлен на множители, распознав в нём квадрат двучлена. Поэтому важно уметь применять формулу в обе стороны: раскрывать скобки и собирать многочлен в квадрат.
Почему в формуле квадрата суммы появляется слагаемое 2ab?
Потому что (a + b)² означает (a + b)(a + b). При умножении получаются два одинаковых слагаемых ab, а их сумма равна 2ab.
Почему в формуле квадрата разности средний член отрицательный?
При умножении (a − b)(a − b) возникают произведения a · (−b) и (−b) · a. Каждое равно −ab, поэтому вместе они дают −2ab.
Нужно ли возводить в квадрат каждое слагаемое в скобках?
Да, оба крайних члена формулы — квадраты слагаемых. Но нельзя забывать и средний член: это удвоенное произведение слагаемых со знаком, который зависит от знака в скобках.
Как понять, какую из двух формул применять?
Посмотри на знак между слагаемыми исходного двучлена: при плюсе используй формулу квадрата суммы, при минусе — квадрата разности. Например, (x + 5)² раскрывают по первой формуле, а (x − 5)² — по второй.
Как проверить, что многочлен является квадратом двучлена?
Проверь, являются ли первый и последний члены квадратами одночленов. Затем проверь, равен ли средний член удвоенному произведению этих одночленов, со знаком плюс или минус.
§ 12. Квадрат суммы и квадрат разности
