"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Квадрат и куб суммы или разности — это результат умножения выражения на себя два или три раза. Формулы помогают быстро раскрывать скобки, упрощать многочлены и преобразовывать выражения, не выполняя длинное умножение каждый раз. Главное — не пропускать средние слагаемые, помнить коэффициенты 2 и 3 и внимательно следить за знаками. Эти правила работают не только с числами, но и с целыми выражениями.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы двух выражений — произведение суммы на себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). После раскрытия скобок получается a² + 2ab + b². Среднее слагаемое появляется из двух произведений ab, поэтому формула нужна для быстрого раскрытия скобок.
Квадрат разности двух выражений — произведение разности на себя: (a − b)² = (a − b)(a − b). Результат равен a² − 2ab + b², потому что два перекрёстных произведения имеют знак минус. Формула помогает не спутать знак среднего слагаемого со знаком последнего.
Куб суммы двух выражений — произведение суммы на себя три раза: (a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b). В раскрытии есть a³, три слагаемых, равных a²b, три слагаемых, равных ab², и b³. Поэтому коэффициенты формулы идут по порядку 1, 3, 3, 1.
Куб разности двух выражений — произведение разности на себя три раза: (a − b)(a − b)(a − b). При раскрытии получаются a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Знаки чередуются, так как количество множителей −b в каждом произведении влияет на его знак; формула удобна для быстрого упрощения выражений.
Чтобы получить квадрат суммы, перемножим два одинаковых множителя: (a + b)(a + b). Раскрываем скобки: a·a + a·b + b·a + b·b, то есть a² + ab + ab + b². Поскольку ab и ba — одинаковые произведения, их можно сложить и заменить на 2ab. Так возникает формула (a + b)² = a² + 2ab + b²; средний член нельзя пропускать.
В квадрате разности раскрываем произведение (a − b)(a − b). При умножении получаем a² − ab − ab + b²: оба перекрёстных произведения отрицательны, поэтому после сложения они дают −2ab. Последний член положителен, потому что минус на минус даёт плюс: (−b)(−b) = b². Поэтому (a − b)² = a² − 2ab + b², и знак минус относится только к среднему члену.
Куб суммы можно представить как квадрат суммы, умноженный на ещё одну сумму: (a + b)³ = (a² + 2ab + b²)(a + b). Раскрывая скобки, получаем a³ + a²b + 2a²b + 2ab² + ab² + b³. Два слагаемых с a²b складываются в 3a²b, а два слагаемых с ab² — в 3ab². Коэффициенты 3 возникают не по отдельному правилу, а при объединении одинаковых произведений.
Для куба разности рассуждаем так же, но используем квадрат разности: (a − b)³ = (a² − 2ab + b²)(a − b). При раскрытии и приведении подобных получается a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Член a²b отрицателен, а ab² положителен: на их знаки влияет число множителей −b. Так формируется чередование знаков плюс, минус, плюс, минус.
Проверить любую из четырёх формул можно подстановкой простых чисел вместо a и b. Например, выбери a = 2 и b = 1, вычисли исходную степень и значение правой части формулы. Если результаты совпали, это подтверждает проверку для выбранных чисел, но не заменяет вывод формулы умножением. Для надёжности при раскрытии сначала записывай все произведения, а затем объединяй одинаковые слагаемые.
| Выражение | Формула |
|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| Куб суммы | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| Куб разности | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
Сначала определи, возводится ли сумма или разность и в какую степень. Затем найди в формуле a и b и подставь вместо них слагаемые целиком. Особенно внимательно проверь знак среднего члена в квадрате и чередование знаков в кубе разности.
Задача 1. Раскрыть скобки в выражении (x + 3)². Здесь возводится в квадрат сумма двух слагаемых: a = x, b = 3. Применим формулу квадрата суммы, не забывая возвести в квадрат число 3 и вычислить удвоенное произведение.
Ответ: x² + 6x + 9.
Задача 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: (2a − 3b)². Это квадрат разности, поэтому средний член будет отрицательным, а квадраты обоих слагаемых — положительными. Подставляем вместо a в формуле целое слагаемое 2a, а вместо b — 3b.
Ответ: 4a² − 12ab + 9b².
Задача 3. Раскрыть скобки и упростить выражение (2x + y)³ − (2x − y)³. Сначала раскроем каждую степень отдельно: во втором кубе важно учесть все знаки. После этого вычтем весь второй многочлен, то есть поменяем знаки у каждого его слагаемого.
Ответ: 24x²y + 2y³.
Пропуск среднего члена. Запись (a + b)² = a² + b² неверна: при умножении суммы на себя возникают два перекрёстных произведения. Ошибка появляется, когда возводят в квадрат только отдельные слагаемые. Проверь себя, раскрыв (a + b)(a + b) и убедившись, что между квадратами есть 2ab.
Неверный знак у b². Иногда в формуле квадрата разности записывают −b², потому что видят знак минус в скобках. Но последний член получается из произведения (−b)(−b), которое положительно. Чтобы проверить запись, разложи произведение на четыре части: только два средних произведения будут отрицательными.
Забытые коэффициенты 3. В кубе суммы или разности нельзя оставлять по одному слагаемому a²b и ab²: каждое из них возникает три раза. Это часто происходит, если формулу запоминают как перечень степеней, не проверяя умножением. Раскрой квадрат, умножь его на сумму или разность и собери одинаковые произведения.
Неправильные знаки в кубе разности. Нельзя переносить в куб правило квадрата и менять знак только у среднего члена. В произведении трёх множителей число отрицательных множителей различается, поэтому знаки идут +, −, +, −. Проверь их, последовательно учитывая знак каждого произведения, особенно последнего слагаемого −b³.
Для применения формул нужно уметь умножать многочлен на многочлен, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти действия помогают понять, откуда берётся каждое слагаемое и почему перед ним стоит именно такой знак. Формулы квадрата и куба используют при упрощении выражений и преобразовании многочленов. Они также помогают решать уравнения, когда удобное раскрытие скобок делает их проще.
Почему при возведении суммы в квадрат появляется слагаемое 2ab?
При умножении (a + b) на себя получаются произведения a², ab, ba и b². Два средних произведения равны ab, поэтому вместе дают 2ab.
Почему в квадрате разности член b² остаётся положительным?
При умножении (a − b)(a − b) последний член получается как (−b)(−b). Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому возникает b².
Откуда в формулах куба суммы и разности берутся коэффициенты 3?
При последовательном умножении одинаковые произведения возникают по три раза. Например, в кубе суммы три произведения равны a²b и ещё три равны ab².
Как не перепутать знаки в формуле куба разности?
Запиши выражение как (a − b)(a − b)(a − b) и следи за знаком каждого произведения. В результате знаки идут по порядку: плюс, минус, плюс, минус.
Можно ли применять эти формулы, если вместо a и b стоят целые выражения?
Да, буквами a и b могут обозначаться любые выражения, например 2x и y. Главное — подставлять их целиком и соблюдать порядок действий и знаки.
32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений
