"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Разложить многочлен на множители — значит представить его как произведение выражений, то есть выполнить действие, обратное раскрытию скобок. Для трёхчлена часто подходят формулы квадрата суммы и квадрата разности. Нужно проверить, являются ли первый и последний члены квадратами, а средний — удвоенным произведением корней из них. Знак среднего члена подсказывает, какую формулу выбрать.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разложение на множители — представление многочлена в виде произведения выражений. Например, запись x² + 6x + 9 = (x + 3)(x + 3) является разложением. Это действие обратное раскрытию скобок: вместо получения суммы мы ищем множители, из которых она составлена.
Квадрат суммы — выражение вида (a + b)², которое равно a² + 2ab + b². Средний член здесь — 2ab, то есть удвоенное произведение слагаемых a и b. Умение распознать этот член помогает быстро свернуть трёхчлен в квадрат двучлена.
Квадрат разности — выражение вида (a − b)², равное a² − 2ab + b². Крайние члены остаются квадратами, но средний член отрицательный. Именно его знак позволяет отличить квадрат разности от квадрата суммы.
Полный квадрат трёхчлена — трёхчлен, который можно записать как квадрат суммы или квадрат разности двух выражений. Например, x² + 6x + 9 — полный квадрат, потому что его можно представить как (x + 3)². Это название подсказывает, что выражение сворачивается в квадрат двучлена.
Начинай проверку с первого и последнего членов: они должны быть квадратами выражений. Например, в x² + 6x + 9 крайние члены — x² и 9, значит, можно взять x и 3. Если под корнем из крайнего члена получается неудобное или нецелое выражение, формула всё ещё может применяться, но стоит записать корень точно. Без квадратов на краях трёхчлен не совпадает с двумя нужными формулами.
После этого проверь средний член: он должен получиться при умножении найденных выражений друг на друга и удвоении результата. Для крайних членов a² и b² это число 2ab. Коэффициент 2 появляется потому, что при раскрытии скобок одинаковые произведения ab возникают дважды и складываются. Поэтому недостаточно заметить в среднем члене просто ab: он должен содержать удвоенное произведение.
Знак среднего члена выбирает формулу. Если он положительный и равен 2ab, исходный трёхчлен соответствует раскрытию скобок у (a + b)². Если он отрицательный и равен −2ab, подходит (a − b)². Знак относится только к среднему члену: последний член в обоих случаях остаётся положительным квадратом.
Чтобы перейти от раскрытой записи к разложению, используй обратные формулы: a² + 2ab + b² = (a + b)² и a² − 2ab + b² = (a − b)². Это не новое равенство, а та же формула, прочитанная справа налево. Поэтому после проверки трёх членов достаточно собрать выражения под корнями в одну скобку и возвести её в квадрат.
Вместо a и b могут стоять не только числа, но и одночлены — произведения чисел и переменных. Например, крайние члены 25x² и 4y² имеют корни 5x и 2y, а их удвоенное произведение равно 20xy. Значит, 25x² + 20xy + 4y² соответствует квадрату суммы (5x + 2y)². При работе с коэффициентами важно извлекать корень и из числа, и из переменной в квадрате.
| Вид трёхчлена | Что проверить | Результат разложения |
|---|---|---|
| a² + 2ab + b² | Крайние члены — квадраты, средний равен 2ab | (a + b)² |
| a² − 2ab + b² | Крайние члены — квадраты, средний равен −2ab | (a − b)² |
| Крайние члены — квадраты, средний член не равен ±2ab | Проверить средний член и извлечение корней | Формула полного квадрата не подходит |
Сначала выбери строку по виду трёхчлена, затем сравни средний член с удвоенным произведением корней из крайних. Не переходи к результату, пока не выполнены оба условия: крайние члены являются квадратами, а средний совпадает по величине и знаку.
Ответ: (x + 3)². Проверка раскрытием скобок возвращает исходный трёхчлен.
Ответ: (2a − 3b)². При раскрытии скобок средний член получается отрицательным, как и в условии.
Ответ: (5x + 2y)². Проверка показывает, что при раскрытии квадрата снова появляются крайние члены 25x² и 4y².
Ошибка: считать полный квадратом любой трёхчлен с квадратами по краям. Причина — проверяются только первый и последний члены, а средний остаётся без внимания. Чтобы проверить себя, найди корни крайних членов, вычисли их удвоенное произведение и сравни его со средним членом.
Ошибка: при отрицательном среднем члене записывать квадрат суммы. Это происходит, если знак воспринимают как несущественную часть выражения. Сверь знак с формулой: у квадрата суммы средний член положительный, у квадрата разности — отрицательный.
Ошибка: сравнивать средний член только с произведением корней, забывая коэффициент 2. Так можно ошибочно отвергнуть подходящий трёхчлен или принять неподходящий. Для самопроверки всегда записывай вычисление 2 · a · b целиком, а затем сравнивай результат со средним членом.
Ошибка: неверно извлекать корень из одночлена, например считать, что корень из 9b² равен 9b. Так путают само выражение и его квадратный корень: 3b · 3b = 9b², поэтому корень — 3b. Проверь найденный корень возведением в квадрат.
Для этой темы нужно знать формулы квадрата суммы и квадрата разности, а также уметь возводить одночлены в квадрат. Эти навыки помогают быстро находить корни крайних членов и проверять средний. Разложение на множители пригодится дальше при решении уравнений: произведение можно приравнять к нулю и рассмотреть множители отдельно. Оно также помогает сокращать дроби и упрощать выражения, если числитель и знаменатель представлены произведениями.
Как понять, что трёхчлен является квадратом двучлена?
Проверь, можно ли представить первый и последний члены как квадраты выражений a² и b². Затем убедись, что средний член равен 2ab или −2ab. В первом случае получается квадрат суммы, во втором — квадрат разности.
Почему средний член должен быть удвоенным произведением?
При раскрытии скобок в выражении (a + b)² два одинаковых произведения ab складываются: ab + ab = 2ab. Для (a − b)² они дают −ab − ab = −2ab. Поэтому без коэффициента 2 формула квадрата двучлена не получится.
Как определить, какую формулу применять — квадрата суммы или разности?
Сравни средний член с удвоенным произведением корней из крайних членов. Если он положительный и равен 2ab, используй (a + b)². Если он отрицательный и равен −2ab, используй (a − b)².
Что делать, если крайние члены являются квадратами, но средний член не подходит?
Такой трёхчлен нельзя разложить по формулам квадрата суммы или разности в выбранном виде. Проверь, верно ли найдены корни крайних членов и учтён ли коэффициент 2. Если всё верно, ищи другой способ разложения.
Как разложить на множители трёхчлен, в котором есть коэффициенты и несколько переменных?
Сначала выдели квадраты крайних членов, например (5x)² и (2y)². Затем перемножь выражения под корнями и удвой результат, чтобы проверить средний член. Подходящий трёхчлен запиши как квадрат суммы или разности этих выражений.
33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности
