"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Разность квадратов и сумма или разность кубов — специальные выражения, которые можно быстро разложить на множители по формулам. Разложение превращает многочлен в произведение: так его проще сокращать, упрощать или использовать при решении уравнений. Главное — распознать квадраты или кубы, правильно выбрать формулу и не перепутать знаки во втором множителе. Результат всегда можно проверить раскрытием скобок.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность квадратов — выражение вида a² − b², которое раскладывается на произведение суммы и разности оснований: (a − b)(a + b). Основаниями здесь называют выражения a и b, которые возводятся в квадрат. Например, в x² − 49 второе основание — 7, потому что 49 = 7². Эта формула помогает заменить разность квадратов произведением двух более простых выражений.
Сумма кубов — выражение вида a³ + b³; её разложение на множители: (a + b)(a² − ab + b²). Куб числа или выражения получается при возведении его в третью степень. Например, 8a³ можно записать как (2a)³, а значит, использовать формулу суммы кубов вместе с b³. Такое представление позволяет быстро получить произведение вместо многочлена.
Разность кубов — выражение вида a³ − b³; её разложение на множители: (a − b)(a² + ab + b²). В отличие от суммы кубов, первый множитель здесь содержит разность оснований, а во втором все знаки положительные. Перед применением полезно выделить основания кубов: так проще не потерять коэффициенты и правильно составить второй множитель. Формула нужна для преобразования разности кубов в произведение.
Формулу разности квадратов можно понять, раскрыв скобки в произведении (a − b)(a + b). По правилу умножения многочленов каждый член первой скобки умножается на каждый член второй, поэтому получаем a² + ab − ab − b². Средние слагаемые имеют одинаковую буквенную часть, но противоположные знаки, так что их сумма равна нулю. Остаётся a² − b², и поэтому исходную разность можно представить как произведение суммы и разности оснований.
Сумма кубов раскладывается так, чтобы при обратном раскрытии скобок смешанные слагаемые уничтожились. Если перемножить (a + b) и (a² − ab + b²), из первого слагаемого первой скобки получится a³ − a²b + ab², а из второго — a²b − ab² + b³. Слагаемые −a²b и a²b, а также ab² и −ab² сокращаются. Поэтому произведение равно a³ + b³, и формула разложения верна.
В формуле суммы кубов первый множитель — сумма оснований, а во втором собраны квадраты оснований и их произведение со знаком минус. Этот знак не выбирают наугад: он обеспечивает сокращение смешанных слагаемых при раскрытии скобок. Второй множитель получается a² − ab + b², где каждое основание участвует в квадрате, а в среднем члене основания перемножаются. Такая структура помогает восстановить формулу, если забыто её точное написание.
Для разности кубов рассуждение устроено похоже, но знак в первом множителе меняется. При раскрытии (a − b)(a² + ab + b²) смешанные члены −a²b и +a²b, а также −ab² и +ab² взаимно уничтожаются. В результате остаётся a³ − b³. Поэтому второй множитель содержит только плюсы, хотя в исходном выражении кубы вычитались.
Формулы работают в обе стороны: произведение можно раскрыть в многочлен, а подходящий многочлен — разложить на множители. Сначала проверь, являются ли части выражения квадратами или кубами одночленов; затем выбери формулу и подставь основания вместо a и b. Например, 49 — это 7², а 8a³ — это (2a)³, не просто «куб 8». В конце раскрытие скобок покажет, верно ли расставлены знаки и степени.
| Вид выражения | Разложение на множители | Что проверить при раскрытии скобок |
|---|---|---|
| a² − b² | (a − b)(a + b) | Смешанные слагаемые сократились, остались a² и −b². |
| a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) | Смешанные слагаемые сократились, остались a³ и b³. |
| a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) | Смешанные слагаемые сократились, остались a³ и −b³. |
Сначала найди в выражении подходящий вид: два квадрата с минусом или два куба с плюсом либо минусом. Затем выбери соответствующую строку и подставь основания вместо a и b. Для проверки раскрой скобки и сравни результат с исходным выражением.
Разложите на множители x² − 49. Здесь нужно заметить, что оба слагаемых являются квадратами: x² и 7². Между ними стоит минус, поэтому подходит формула разности квадратов. Выполним преобразование по шагам.
Ответ: (x − 7)(x + 7).
Разложите на множители 8a³ + b³. Сначала нужно узнать кубы одночленов, а не применять формулу прямо к коэффициенту 8. Так как 8a³ = (2a)³, основания кубов — 2a и b. Между кубами стоит плюс, следовательно, используем формулу суммы кубов.
Ответ: (2a + b)(4a² − 2ab + b²).
Разложите на множители 27x³ − 64y³. Представим каждое слагаемое как куб: 27x³ = (3x)³, а 64y³ = (4y)³. Знак между кубами — минус, поэтому выбираем формулу разности кубов. Особенно внимательно возведём в квадрат коэффициенты 3 и 4 во втором множителе.
Ответ: (3x − 4y)(9x² + 12xy + 16y²).
Ошибка: применять формулу разности квадратов к сумме квадратов, например считать, что a² + b² = (a − b)(a + b). Так делают, потому что видят два квадрата, но забывают, что в формуле между ними стоит минус. Проверь знак исходного выражения: формула подходит только для a² − b². Раскрытие предложенных скобок сразу покажет лишний член со знаком минус.
Ошибка: менять знак среднего слагаемого во втором множителе формул кубов. Можно перепутать, потому что в обеих формулах используются одни и те же квадраты оснований и произведение ab. Для суммы кубов во втором множителе стоит минус перед ab, для разности — плюс. Проверка раскрытием скобок покажет, сократились ли смешанные члены.
Ошибка: записывать плюс перед произведением оснований во втором множителе суммы кубов. Тогда смешанные слагаемые при умножении не уничтожатся, и результат не будет равен исходной сумме. Запомни формулу целиком: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Чтобы проверить себя, раскрой скобки и найди члены с a²b и ab².
Ошибка: не возводить коэффициенты и буквенные множители оснований в квадрат. Например, если основание — 3x, его квадрат равен 9x², а не 3x². Причина обычно в том, что ученик применяет формулу к x, забывая о коэффициенте. Подставляй всё основание в скобках и возводи в квадрат каждый его множитель.
Для работы с формулами нужно уметь распознавать квадрат и куб одночлена, возводить одночлены в степень и раскрывать скобки. Эти навыки помогают не только выбрать формулу, но и проверить полученный результат. Разложение на множители используют при сокращении дробей, решении уравнений и упрощении выражений. Оно также связано с вынесением общего множителя и другими формулами сокращённого умножения: разные приёмы помогают представить многочлен в виде произведения.
Почему разность квадратов раскладывается на сумму и разность оснований?
При раскрытии скобок в произведении (a − b)(a + b) получаются a² + ab − ab − b². Средние слагаемые ab и −ab уничтожаются, поэтому остаётся a² − b².
Как определить, является ли выражение суммой или разностью кубов?
Проверь, можно ли каждое слагаемое представить как куб одночлена, то есть число или букву в третьей степени. Затем посмотри на знак между слагаемыми: плюс означает сумму кубов, минус — разность кубов.
Почему в формуле суммы кубов во втором множителе стоит минус?
Знак минус нужен, чтобы при раскрытии скобок смешанные слагаемые сократились. В результате произведения (a + b)(a² − ab + b²) остаются только a³ и b³.
Как не перепутать знаки в формулах суммы и разности кубов?
В первом множителе знак такой же, как между кубами: плюс у суммы, минус у разности. Во втором множителе суммы кубов перед ab стоит минус, а в формуле разности кубов все знаки положительные.
Можно ли применить эти формулы, если основаниями являются многочлены?
Да, вместо a и b можно подставить целые многочлены. Сначала проверь, что исходное выражение действительно является разностью квадратов или суммой либо разностью кубов, а затем аккуратно возводи основания в степени и раскрывай скобки для проверки.
§ 13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов
