"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Произведение разности двух выражений на их сумму равно разности квадратов этих выражений: (a − b)(a + b) = a² − b². Это равенство называют формулой разности квадратов. Оно помогает быстро раскрывать скобки, раскладывать многочлены на множители и считать удобные произведения, например 47 · 53. Формулу можно применять в обе стороны, подставляя вместо букв числа, переменные или целые выражения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность двух выражений — это выражение вида a − b, где a называют уменьшаемым, а b — вычитаемым. Иными словами, из первого выражения вычитают второе. Это обозначение помогает увидеть порядок действий и отличить разность от суммы.
Сумма двух выражений — это выражение вида a + b, составленное из тех же выражений a и b. В сумме оба слагаемых соединены знаком плюс. Когда сумма и разность содержат одну и ту же пару выражений, их можно перемножить по особому правилу.
Равенство (a − b)(a + b) = a² − b² называют формулой разности квадратов и формулой сокращённого умножения. Оно показывает, как заменить произведение разности и суммы разностью квадратов, и наоборот. Такая запись позволяет выполнять преобразования короче, чем при обычном раскрытии скобок.
Раскроем скобки в произведении (a − b)(a + b), умножив каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй. Получим a² + ab − ab − b². Слагаемые ab и −ab — противоположные числа, поэтому их сумма равна нулю; остаётся a² − b².
Именно взаимное уничтожение смешанных слагаемых объясняет, почему ответом становится разность квадратов. Квадраты a² и b² появляются при умножении a на a и −b на b. Знак перед b² остаётся минусом, потому что отрицательное b умножается на положительное b.
Буквы a и b обозначают не только числа. Вместо них можно подставить переменные, одночлены или целые выражения, если указанные действия имеют смысл. Например, в формуле для (x + 3 − y)(x + 3 + y) роль a играет x + 3, а роль b — y.
Формулу используют в двух направлениях. Слева направо произведение (a − b)(a + b) заменяют выражением a² − b², а справа налево разность квадратов раскладывают на множители: a² − b² = (a − b)(a + b). Выбор направления зависит от задачи: нужно ли упростить произведение или представить многочлен как произведение.
Чтобы распознать разность квадратов, проверь два признака: оба слагаемых являются квадратами, а между ними стоит минус. Затем найди квадратные корни слагаемых и запиши сначала их разность, а затем сумму. Например, x² − 25 превращается в (x − 5)(x + 5); при сумме квадратов этот приём не работает.
| Ситуация | Как распознать | Преобразование | Что проверить |
|---|---|---|---|
| Умножение разности на сумму | В скобках стоят разность и сумма одних выражений | (a − b)(a + b) = a² − b² | Совпадают ли выражения a и b в обеих скобках |
| Разложение разности квадратов на множители | Два квадрата разделены знаком минус | a² − b² = (a − b)(a + b) | Верно ли найдены квадратные корни |
| Выражения вместо букв a и b | Вместо букв стоят целые выражения | (A − B)(A + B) = A² − B² | Одинаковы ли A и B в обеих скобках |
| Квадраты чисел или одночленов | Каждое слагаемое можно представить как квадрат | Например, 9a² − 25b⁴ = (3a − 5b²)(3a + 5b²) | Возведение корней в квадрат возвращает исходные слагаемые |
Сначала определи, какая ситуация перед тобой, затем сравни выражение с подходящей строкой таблицы. Перед записью результата обязательно проверь знаки и квадратные корни. Если между квадратами стоит плюс, таблица для разности квадратов не подходит.
Числа 47 и 53 одинаково удалены от 50: первое на 3 меньше, второе на 3 больше. Поэтому их удобно записать как разность и сумму одного числа с одинаковым добавлением 3. Это даст произведение вида, к которому применима формула разности квадратов.
Ответ: 2491. Проверка умножением даёт тот же результат: 47 · 53 = 2491. При подборе удобного числа середины важно, чтобы отклонения множителей были равными.
В скобках находятся сумма и разность двух одинаковых выражений: x и 4. Порядок множителей можно поменять, потому что от перестановки множителей произведение не меняется. Получаем нужный для формулы вид.
Ответ: x² − 16. Для проверки можно перемножить скобки обычным способом: x² + 4x − 4x − 16, и смешанные слагаемые сократятся. Результат совпадает с полученным по формуле.
Между слагаемыми стоит минус, а каждое из них является квадратом: 9a² = (3a)² и 25b⁴ = (5b²)². Во втором корне степень b равна двум, потому что при возведении b² в квадрат получается b⁴. Значит, перед нами разность квадратов.
Ответ: (3a − 5b²)(3a + 5b²). Проверка раскрытием скобок даёт 9a² − 25b⁴, поскольку смешанные слагаемые уничтожаются. Значит, разложение выполнено верно.
Иногда записывают (a − b)(a + b) = a² + b². Ошибка возникает, если запомнить только квадраты, но забыть знак между ними. Проверь результат раскрытием скобок: смешанные слагаемые сократятся, а перед b² останется минус.
При раскрытии скобок могут неверно сложить −ab и ab. Это противоположные слагаемые, и их сумма равна нулю, а не 2ab или −2ab. Для самопроверки запиши все четыре произведения по отдельности: a · a, a · b, −b · a и −b · b.
Формулу иногда пытаются применить к сумме квадратов a² + b². Это происходит из-за сходства записи с разностью квадратов, но знак здесь другой. У формулы есть минус между квадратами, поэтому проверь знак до преобразования и не заменяй сумму произведением разности и суммы.
Ещё одна ошибка — принять √(25b⁴) за 5b. При извлечении корня из b⁴ показатель степени делится пополам, поэтому получается b². Возведи предполагаемый ответ в квадрат: (5b)² = 25b², а (5b²)² = 25b⁴; совпадает только второй вариант.
Для вывода формулы нужно знать распределительное свойство умножения и правила умножения одночленов. Оно помогает правильно раскрыть скобки и получить противоположные смешанные слагаемые. Для обратного применения необходимо уметь возводить одночлены в квадрат и узнавать квадрат числа или выражения.
Формула разности квадратов пригодится при упрощении выражений и разложении многочленов на множители. Она также помогает быстро вычислять произведения чисел, которые расположены на одинаковом расстоянии от удобного числа. В дальнейшем такие преобразования станут частью решения более сложных алгебраических выражений.
Почему в формуле получается разность квадратов, а не сумма?
При раскрытии скобок получаются a², −ab, ab и −b². Смешанные слагаемые −ab и ab взаимно уничтожаются, поэтому остаётся a² − b².
Как понять, что произведение подходит для этой формулы?
Проверь, что множители состоят из одной и той же пары выражений: в одном стоит их разность, а в другом — сумма. Например, (x − 4)(x + 4) подходит, а (x − 4)(x + 5) — нет.
Можно ли применять формулу, если вместо a и b стоят выражения с переменными?
Да. Вместо букв могут стоять числа, переменные и целые выражения, если все действия имеют смысл. Например, (x + 2 − y)(x + 2 + y) = (x + 2)² − y².
Как разложить на множители разность квадратов?
Найди квадратные корни обоих слагаемых и запиши произведение их разности и суммы. Например, x² − 16 = (x − 4)(x + 4).
Почему нельзя так же разложить сумму квадратов?
Формула связывает произведение разности и суммы именно с разностью квадратов. При раскрытии скобок получается a² − b², а не a² + b², поэтому к сумме квадратов эту формулу применить нельзя.
34. Умножение разности двух выражений на их сумму
