"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Разность квадратов — выражение, в котором один квадрат вычитается из другого: например, x² − 16. Его можно заменить произведением разности и суммы тех же выражений: x² − 16 = (x − 4)(x + 4). Такой приём помогает быстрее разлагать многочлены на множители, упрощать выражения и выполнять вычисления. Главное — проверить, что оба слагаемых действительно являются квадратами.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность квадратов — выражение вида a² − b², где из квадрата одного выражения вычитается квадрат другого. Например, x² − 9 — разность квадратов, потому что x² и 9 являются квадратами x и 3. Это название помогает быстро заметить подходящий для формулы вид записи. Сначала нужно найти сами выражения, которые возведены в квадрат.
Формула разности квадратов — равенство a² − b² = (a − b)(a + b), которое позволяет заменить разность квадратов произведением. Здесь a и b — основания квадратов, то есть выражения, которые были возведены во вторую степень. Например, в выражении x² − 9 основания — x и 3. Формула показывает, на какие два множителя можно заменить исходную разность.
Разложение на множители — представление выражения в виде произведения нескольких выражений. При разложении разности квадратов множителями становятся разность и сумма оснований квадратов: (a − b) и (a + b). Такое представление удобно, когда нужно упростить выражение или найти его значение при заданных буквах. Чтобы не перепутать запись, в ответе нужно сохранить оба множителя.
Формулу можно получить, раскрыв скобки в произведении (a − b)(a + b). Каждый член первой скобки умножаем на каждый член второй: a · a + a · b − b · a − b · b. Получается a² + ab − ab − b², а противоположные слагаемые ab и −ab дают в сумме ноль. Поэтому произведение равно a² − b², и формула работает в обратном направлении тоже.
Чтобы распознать разность квадратов, сначала найди два слагаемых и знак между ними. Затем проверь, можно ли каждое слагаемое записать как квадрат: например, 16 = 4², а 25m² = (5m)². Если перед вторым слагаемым стоит минус и обе части являются квадратами, можно подставить их основания вместо a и b. Одна только похожесть на два слагаемых не достаточна: нужно проверить обе части.
В множителях появляются разность и сумма одних и тех же выражений, потому что только при таком сочетании средние произведения взаимно уничтожаются. Если написать две одинаковые разности, получится (a − b)² = a² − 2ab + b², и лишние слагаемые останутся. Если взять две суммы, результатом будет a² + 2ab + b². Значит, противоположные знаки в множителях нужны именно для того, чтобы убрать слагаемые с произведением a и b.
Буквы a и b в формуле могут обозначать числа, одночлены или целые выражения. Например, в записи (2x + 1)² − (x − 3)² за a можно принять 2x + 1, а за b — x − 3. Тогда формула применяется к выражениям в скобках целиком, без предварительного раскрытия квадратов. Такой подход часто сокращает вычисления и помогает не допустить ошибок со знаками.
Формулу используют не только для разложения многочлена, но и для упрощения выражений и вычислений. После разложения иногда можно сократить общие множители или удобнее подставить значения букв. Проверить результат просто: раскрой скобки в полученном произведении и сравни его с исходным выражением. Если все члены и знаки совпали, разложение выполнено верно.
| Выражение | Квадраты каких выражений вычитаются | Разложение на множители |
|---|---|---|
| a² − b² | a и b | (a − b)(a + b) |
| x² − 9 | x и 3 | (x − 3)(x + 3) |
| 25m² − n² | 5m и n | (5m − n)(5m + n) |
Сначала прочитай второй столбец: он показывает, какие выражения возведены в квадрат. Затем возьми эти выражения в том же порядке и составь разность и сумму. Пользуйся третьим столбцом для проверки: раскрытие скобок должно вернуть выражение из первого столбца.
Нужно представить оба слагаемых как квадраты, а затем заменить разность квадратов произведением. Первое слагаемое уже записано как квадрат x. Число 16 — это 4², поэтому основания квадратов равны x и 4.
В ответе обязательно стоят оба множителя: разность оснований и их сумма. Проверка раскрытием скобок даёт x² + 4x − 4x − 16 = x² − 16. Значит, разложение верное.
Здесь квадраты не сразу записаны в привычном виде, поэтому сначала найдём их основания. Так как 9a² = (3a)², а 25b² = (5b)², основания равны 3a и 5b. После этого можно применить ту же формулу, не меняя порядок слагаемых.
Чтобы проверить результат, перемножим скобки: получатся 9a², средние слагаемые −15ab и 15ab, а также −25b². Средние слагаемые уничтожаются, и остаётся исходное выражение. Это подтверждает, что основания квадратов выбраны правильно.
Если раскрыть оба квадрата сразу, появится несколько слагаемых, но это не обязательно. Скобки можно считать целыми выражениями, возведёнными в квадрат. Обозначим первое выражение за a, а второе — за b и применим формулу к разности квадратов.
Ответ: (x + 4)(3x − 2). При упрощении первой скобки минус перед x − 3 меняет знаки обоих слагаемых внутри неё. Проверка раскрытием результата даёт 3x² + 10x − 8, что совпадает с исходным выражением после раскрытия квадратов.
Первая ошибка — применять формулу к сумме квадратов, например считать, что a² + b² = (a − b)(a + b). Так поступают, потому что замечают два квадрата, но не проверяют знак между ними. Формула даёт a² − b², поэтому при раскрытии предложенного произведения получится разность, а не сумма. Для самопроверки сравни знак перед последним слагаемым после раскрытия скобок.
Вторая ошибка — записать только один множитель, например a − b, и забыть множитель a + b. Это происходит, если формулу вспоминают не полностью или считают, что достаточно выписать разность оснований. Разложение должно быть произведением двух выражений. Проверь, есть ли в ответе и разность, и сумма одних и тех же оснований.
Третья ошибка — заменить разность квадратов выражением (a − b)². Эти записи похожи, поэтому их можно спутать, но квадрат разности при раскрытии даёт средний член −2ab и положительный квадрат b. Чтобы проверить себя, раскрой скобки: если исходное выражение было a² − b², средних слагаемых в нём нет, значит, квадрат разности не подходит.
Четвёртая ошибка — не проверять, являются ли оба слагаемых квадратами подходящих выражений. Например, x² − 5 нельзя непосредственно разложить по этой формуле над рациональными числами, потому что 5 не является квадратом рационального числа. Ошибка возникает, когда формулу применяют только из-за минуса между слагаемыми. Найди основание каждого квадрата и проверь, что его квадрат точно даёт исходное слагаемое.
Для работы с разностью квадратов нужно уметь возводить в квадрат числа, одночлены и выражения, а также распознавать полный квадрат. Пригодится и навык раскрывать скобки: он нужен, чтобы обосновать формулу и проверить ответ. Эти умения позволяют определить, какие выражения можно взять за основания квадратов.
Разложение на множители помогает упрощать многочлены и вычисления, а позднее пригодится при сокращении алгебраических дробей. Если числитель и знаменатель дроби имеют общий множитель, их можно сократить при допустимых значениях переменной. Формула разности квадратов часто позволяет обнаружить такой множитель, который не виден в исходной записи.
Как понять, что выражение можно разложить по формуле разности квадратов?
В выражении должны быть два слагаемых, соединённые знаком минус, и каждое из них должно быть квадратом какого-либо выражения. Например, 25m² − n² = (5m)² − n², поэтому формула подходит. Для x² − 5 над рациональными числами второй член не является квадратом рационального выражения.
Почему в формуле один множитель содержит разность, а другой — сумму?
При раскрытии скобок произведения (a − b)(a + b) появляются слагаемые a², ab, −ab и −b². Слагаемые ab и −ab взаимно уничтожаются, поэтому остаётся a² − b².
Можно ли применять формулу, если под квадратами стоят выражения со скобками?
Да, в формуле a и b могут обозначать целые выражения, в том числе выражения со скобками. Например, (2x + 1)² − (x − 3)² раскладывается как ((2x + 1) − (x − 3))((2x + 1) + (x − 3)).
Чем разность квадратов отличается от квадрата разности?
Разность квадратов имеет вид a² − b² и раскладывается в произведение (a − b)(a + b). Квадрат разности — это (a − b)², а после раскрытия скобок получается a² − 2ab + b². Это разные выражения.
Можно ли разложить на множители сумму квадратов?
Формула разности квадратов к сумме a² + b² не применяется, потому что между квадратами стоит плюс. Например, нельзя заменить x² + 9 на (x − 3)(x + 3): это произведение равно x² − 9.
35. Разложение разности квадратов на множители
