35. Разложение разности квадратов на множители

Определения и обозначения

Разность квадратов — выражение вида a² − b², где a и b — любые выражения. Например, x² − 25 подходит под это определение: x² — квадрат выражения x, а 25 — квадрат числа 5. Это название помогает сразу заметить особый вид выражения и выбрать подходящий способ его преобразования.

Формула разности квадратов — тождество a² − b² = (a − b)(a + b), которое позволяет представить разность в виде произведения. Тождество — равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него букв. Формула нужна, чтобы переходить от разности квадратов к произведению множителей.

Множители разности квадратов — разность и сумма тех же выражений: (a − b) и (a + b). Здесь a и b — основания квадратов, то есть выражения, которые при умножении сами на себя дают соответствующие квадраты. Оба основания нужно использовать целиком в обеих скобках, иначе произведение изменится.

Как это устроено

Причину действия формулы можно увидеть, раскрыв скобки в произведении (a − b)(a + b). Получится a² + ab − ab − b²: первое и последнее слагаемые возникают при умножении первых и последних членов скобок. Средние слагаемые равны по величине и имеют разные знаки, поэтому их сумма равна нулю, и остаётся a² − b².

Чтобы распознать разность квадратов, сначала проверь знак между двумя частями: нужен минус. Затем выясни, можно ли каждую часть представить квадратом какого-либо выражения. Например, 9x² − 16y² = (3x)² − (4y)², потому что (3x) · (3x) = 9x², а (4y) · (4y) = 16y².

После распознавания подставь основания квадратов вместо a и b в формулу. Если выражение имеет вид A² − B², получатся множители (A − B)(A + B). Каждое основание сохраняй целиком: если A состоит из нескольких слагаемых, заключай его в скобки, чтобы знаки и слагаемые не потерялись.

Проверка помогает обнаружить ошибку в знаках или в найденных основаниях. Раскрой скобки в результате и сравни полученное выражение с исходным; при необходимости приведи подобные слагаемые. Например, произведение (x − 5)(x + 5) при раскрытии даёт x² + 5x − 5x − 25, то есть x² − 25.

Иногда применение формулы — не последний шаг: один из получившихся множителей тоже может раскладываться. Проверь, есть ли в нём общий множитель или разность квадратов, и продолжи преобразование, если это возможно. Так выражение получится разложить дальше и представить произведением более простых множителей.

Распознавание и применение формулы разности квадратов

Заполняй таблицу по порядку: сначала установи вид выражения, затем найди основания обоих квадратов. После этого составь множитель-разность и множитель-сумму из тех же оснований. В последней строке проверь результат раскрытием скобок.

Разбор задач

Задача 1. Разложите на множители x² − 25.

1. Проверяем вид выражения: между двумя частями стоит минус, а 25 — полный квадрат.
2. Записываем основания: x² = x · x, а 25 = 5². Значит, основания равны x и 5.
3. Подставляем их в формулу: x² − 5² = (x − 5)(x + 5). Получаем множитель-разность и множитель-сумму.

Ответ: (x − 5)(x + 5). Для проверки раскроем скобки: x² + 5x − 5x − 25 = x² − 25, как и требовалось.

Задача 2. Разложите на множители 9a² − 4b².

1. Проверяем, что это разность квадратов: между членами стоит минус, а 9a² и 4b² можно представить как квадраты одночленов.
2. Находим основания: 9a² = (3a)², так как (3a) · (3a) = 9a²; 4b² = (2b)². Поэтому берём выражения 3a и 2b.
3. Записываем разность и сумму этих оснований: (3a − 2b)(3a + 2b). Обе части каждого основания сохраняем целиком.

Ответ: (3a − 2b)(3a + 2b). При раскрытии скобок произведение равно 9a² + 6ab − 6ab − 4b², то есть исходному выражению.

Задача 3. Разложите на множители x⁴ − 16, используя формулу столько раз, сколько возможно.

1. Замечаем, что x⁴ = (x²)², а 16 = 4². Применяем формулу: x⁴ − 16 = (x² − 4)(x² + 4).
2. Проверяем каждый множитель. В x² − 4 снова есть разность квадратов: x² − 4 = x² − 2² = (x − 2)(x + 2).
3. Множитель x² + 4 — сумма квадратов, поэтому по этой формуле дальше не раскладывается. Записываем результат как произведение трёх множителей.

Ответ: (x − 2)(x + 2)(x² + 4).

Типичные ошибки

Применять формулу к сумме квадратов — ошибка: в a² + b² нет нужного знака минус, и равенство с произведением (a − b)(a + b) не выполняется. Эту ошибку допускают, запоминая формулу только по словам «квадраты» и не проверяя знак. Перед преобразованием подчеркни знак между квадратами, а результат раскрой для проверки.

Запись (a − b)² вместо (a − b)(a + b) даёт другой результат: квадрат разности равен a² − 2ab + b². Путаница возникает потому, что в обоих случаях встречаются те же выражения a и b. Проверь скобки раскрытием: у разности квадратов средние слагаемые должны уничтожиться, а у квадрата разности остаётся −2ab.

Неверно находить основание квадрата у одночлена, например считать, что 9a² = (9a)². При возведении 9a в квадрат получится 81a², поэтому правильное основание — 3a: (3a)² = 9a². Проверяй найденное основание умножением самого на себя.

Если основание — выражение из нескольких частей, нельзя терять часть или менять её знак при записи множителей. Например, при основании x + 1 в скобки нужно включить всё выражение: ((x + 1) − 2)((x + 1) + 2). Ошибку легче заметить, если раскрыть скобки и проверить, что получено исходное выражение.

Связь с другими темами

Чтобы пользоваться формулой, нужно уметь находить квадраты чисел и одночленов, раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Эти навыки помогают распознать основания квадратов и проверить полученное произведение. Разложение разности квадратов пригодится при упрощении выражений и решении уравнений, а также при дальнейшем разложении многочленов на множители.

Что запомнить

• a² − b² = (a − b)(a + b).
• Формула применима к разности двух квадратов, а не к их сумме.
• Основания квадратов могут быть числами, одночленами или более сложными выражениями.
• В множителях используются одни и те же основания: сначала разность, затем сумма.
• После разложения проверь результат раскрытием скобок.
• Если множитель можно разложить дальше, продолжи разложение.