"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Сумму или разность двух кубов можно представить как произведение линейного и квадратного множителей. Для этого используют формулы a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) и a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Сначала нужно распознать кубы и найти их основания, а затем аккуратно подставить их в нужную формулу. Такой способ помогает разлагать многочлены на множители, упрощать выражения и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма кубов — выражение вида a³ + b³, где a и b — любые выражения. Например, x³ + 8 является суммой кубов, потому что 8 = 2³. Чтобы применить правило, нужно увидеть в слагаемых кубы и определить их основания: здесь это x и 2.
Разность кубов — выражение вида a³ − b³, где a и b могут быть числами или выражениями. Например, 27a³ − b³ можно записать как (3a)³ − b³. Такое представление помогает выбрать формулу с нужным знаком и не перепутать основания кубов.
Разложение на множители суммы и разности кубов — представление выражений a³ + b³ и a³ − b³ в виде произведения линейного и квадратного множителей. Линейный множитель содержит выражения первой степени, а квадратный — их квадраты и произведение. Разложение заменяет сумму или разность произведением, с которым часто удобнее работать при упрощении выражений и решении уравнений.
Формулу суммы кубов можно проверить обычным умножением: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³. Слагаемые −a²b и a²b взаимно уничтожаются, как и ab² и −ab². Это происходит потому, что при раскрытии скобок одни и те же смешанные произведения возникают с противоположными знаками. В результате остаются только a³ и b³.
Для разности кубов умножим (a − b) на a² + ab + b². Получится a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³. Здесь смешанные слагаемые тоже сокращаются попарно: плюс a²b уничтожается минус a²b, а плюс ab² — минус ab². Поэтому произведение равно a³ − b³, как и требовалось.
Сравнение формул помогает запомнить знаки. При сумме кубов первый множитель — a + b, а при разности — a − b: знак в нём совпадает со знаком между кубами. В квадратном множителе средний член имеет противоположный знак, поэтому для суммы там стоит −ab, а для разности — +ab. Крайние члены квадратного множителя в обоих случаях одинаковы: a² и b².
Применяй формулу в определённом порядке. Сначала проверь, что выражение состоит из двух кубов, и найди основания a и b; затем посмотри, стоит между ними плюс или минус. Выбери соответствующую формулу и подставь основания вместо букв во все три члена каждого множителя. Такой порядок не даёт пропустить знак или забыть часть выражения.
Основаниями могут быть не только числа, но и другие выражения. Например, в (x)³ + (2y)³ вместо a подставляют x, а вместо b — 2y, поэтому средний член равен −x · 2y = −2xy. Результат — (x + 2y)(x² − 2xy + 4y²). Проверить его можно раскрытием скобок: смешанные слагаемые должны сократиться, а оставшиеся дать исходное выражение.
| Выражение | Формула разложения | Линейный множитель | Квадратный множитель |
|---|---|---|---|
| Сумма кубов: a³ + b³ | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | a + b | a² − ab + b² |
| Разность кубов: a³ − b³ | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | a − b | a² + ab + b² |
Сначала выбери строку по знаку между кубами, затем сверяй линейный и квадратный множители. При подстановке вместо a и b используй найденные основания кубов. Если сомневаешься в знаках, раскрой скобки и проверь результат умножением.
Первое слагаемое уже является кубом: x³ = (x)³. Число 8 — тоже куб, ведь 8 = 2³, поэтому основания равны x и 2. Между кубами стоит плюс, значит, выбираем формулу суммы кубов. Подставляем основания во все части формулы, не забывая вычислить 2² = 4.
Ответ: (x + 2)(x² − 2x + 4). Для проверки можно умножить скобки: смешанные слагаемые сократятся, а останутся x³ и 8.
Число 27 равно 3³, поэтому 27a³ = (3a)³. Второе слагаемое — b³, его основание b. Знак между кубами минус, значит, используем формулу разности кубов с основаниями 3a и b. В квадратном множителе средний член будет положительным, а произведение оснований равно 3ab.
Ответ: (3a − b)(9a² + 3ab + b²). При обратном умножении смешанные слагаемые взаимно уничтожаются, а остаётся (3a)³ − b³.
Здесь сначала нужно упростить выражение, потому что оно записано длиннее, чем сумма двух кубов. Слагаемые 8x³ и −8x³ сокращаются; 125y³ и −125y³ тоже сокращаются. Остаётся 64x³, а это куб числа 4x. Его можно представить как сумму двух кубов, добавив нулевой куб: (4x)³ + 0³.
Ответ: 64x³, или в виде произведения множителей 4x · 16x². Проверка обратным умножением даёт исходное выражение после его упрощения. Нулевое слагаемое здесь не меняет значение, но позволяет явно применить формулу суммы кубов.
Первая ошибка — перепутать знак среднего члена: написать +ab в формуле суммы или −ab в формуле разности. Это случается, если запомнить формулы без связи между знаками. Проверь линейный множитель: знак при ab должен быть противоположным знаку в нём.
Можно неверно определить основание куба, например принять кубический корень из 8x³ за 8x. Но 8x³ = (2x)³, потому что 2³ = 8 и x³ остаётся третьей степенью. Для проверки возведи найденное основание в куб и убедись, что получил исходное слагаемое.
Ещё одна ошибка — потерять один из членов квадратного множителя или забыть произведение ab. Иногда записывают только a² и b², потому что сосредоточены на квадратах оснований. Сверяй результат с формулой: в квадратном множителе всегда три члена — квадрат первого основания, их произведение и квадрат второго основания.
Формулы суммы и разности кубов можно спутать с формулами квадрата суммы и разности. Тогда их пытаются применить к выражению, которое не имеет вида a³ ± b³. Сначала проверь степени слагаемых: оба должны быть кубами; если это не так, формула здесь не подходит. Помни также, что разложение кубов даёт произведение двух множителей, а не квадрат двучлена.
Для разложения кубов нужны формулы сокращённого умножения и умение умножать многочлены: проверка правила основана на раскрытии скобок. Также важно понимать степень с натуральным показателем, чтобы распознавать кубы чисел и выражений. Например, равенство 27a³ = (3a)³ следует из правил возведения произведения в степень.
Разложение на множители помогает преобразовывать многочлены в более удобную форму. Его используют при упрощении выражений и при решении уравнений, когда произведение множителей позволяет найти возможные значения переменной. Поэтому распознавание кубов становится одним из способов продолжить работу с алгебраическими выражениями.
Как понять, что выражение можно разложить по формуле суммы кубов?
Проверь, состоит ли выражение из двух слагаемых со знаком плюс и можно ли каждое представить в виде куба. Например, 64x³ + 27y³ = (4x)³ + (3y)³. Тогда применима формула суммы кубов.
Почему в формуле суммы кубов в квадратном множителе стоит −ab?
При умножении (a + b)(a² − ab + b²) появляются смешанные слагаемые −a²b, −ab², a²b и ab². Они попарно сокращаются, поэтому остаются только a³ и b³. Знак минус перед ab обеспечивает это сокращение.
Как определить основания кубов в выражении 64x³ + 27y³?
Найди кубический корень из каждого слагаемого: 64x³ = (4x)³, а 27y³ = (3y)³. Значит, основания кубов — 4x и 3y. Их и подставляют вместо a и b.
Как не перепутать формулы суммы и разности кубов?
Знак между кубами повторяется в линейном множителе: при сумме будет a + b, при разности — a − b. В квадратном множителе средний член имеет противоположный знак: −ab для суммы и +ab для разности.
Можно ли применять формулу, если основания кубов — выражения, а не числа?
Да, основаниями могут быть любые выражения, например x и 2y или 3a и b. Нужно подставить их вместо a и b во все части формулы, включая средний член и квадраты.
36. Разложение на множители суммы и разности кубов
