"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Полный квадрат трёхчлена — это выражение, которое можно записать как квадрат суммы или разности двух выражений. Чтобы его распознать, проверьте три части: крайние слагаемые должны быть квадратами, а среднее — удвоенным произведением их корней. Если проверка пройдена, трёхчлен превращается в квадрат двучлена, то есть в произведение одинаковых множителей. Этот приём помогает разлагать выражения на множители и упрощать решение уравнений.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формула квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b². Здесь a² и b² — квадраты слагаемых, а 2ab — их удвоенное произведение. Формула показывает, что при умножении суммы на саму себя появляются два одинаковых квадрата и два одинаковых произведения ab.
Формула квадрата разности: (a − b)² = a² − 2ab + b². Крайние слагаемые снова являются квадратами, но средний член отрицательный, потому что при раскрытии скобок произведения разных слагаемых берутся со знаком минус. Это различие помогает выбрать правильный знак при обратном переходе.
Полный квадрат трёхчлена — выражение вида a² + 2ab + b² или a² − 2ab + b², которое можно представить соответственно как (a + b)² или (a − b)². Иначе говоря, трёхчлен получен возведением двучлена в квадрат. Распознавание полного квадрата нужно, чтобы заменить сумму слагаемых произведением одинаковых множителей.
Начните с крайних слагаемых: первого и последнего. Если оба являются квадратами, запишите их корни, например a² и b². Это только возможные слагаемые двучлена, а не доказательство того, что трёхчлен — полный квадрат.
Дальше проверьте средний член: он должен совпадать с удвоенным произведением найденных корней. Причина в раскрытии скобок: в произведении (a + b)(a + b) возникают два слагаемых ab, которые складываются в 2ab. Поэтому квадратные крайние слагаемые без подходящего среднего члена не образуют полный квадрат.
Знак в середине подсказывает, какой двучлен нужно возвести в квадрат. Если средний член равен 2ab, подходит квадрат суммы (a + b)²; если он равен −2ab, подходит квадрат разности (a − b)². Проверяйте не только знак, но и величину среднего члена: она должна быть ровно в два раза больше произведения корней крайних слагаемых.
Обратный переход превращает трёхчлен в квадрат двучлена: a² + 2ab + b² = (a + b)². Квадрат можно записать и как произведение двух одинаковых множителей: (a + b)² = (a + b)(a + b). Так выражение оказывается разложенным на множители, а не просто записанным в другой форме.
Иногда выражение сначала нужно подготовить. Переставьте слагаемые так, чтобы увидеть крайние квадраты и средний член, или вынесите общий множитель за скобки. Например, если все слагаемые имеют общий числовой или буквенный множитель, после его выноса оставшаяся часть может принять нужный вид. Любое преобразование проверяйте обратным раскрытием скобок.
Пользуйтесь таблицей по порядку: сначала оцените крайние слагаемые, затем сравните среднее с удвоенным произведением их корней. Если условие не выполнено, не записывайте трёхчлен квадратом двучлена без дополнительного преобразования. В таком случае проверьте, можно ли изменить вид выражения, или выберите другой способ разложения.
| Вид трёхчлена | Проверка среднего члена | Результат разложения |
|---|---|---|
| a² + 2ab + b² | средний член равен 2ab | (a + b)² |
| a² − 2ab + b² | средний член равен −2ab | (a − b)² |
| Крайние слагаемые не являются квадратами или средний член не равен ±2ab | формула не подходит напрямую | проверить преобразование или выбрать другой способ |
Задача 1. Разложите на множители x² + 8x + 16. Сначала проверим крайние слагаемые: x² — квадрат x, а 16 — квадрат 4. Затем сравним средний член с удвоенным произведением этих корней и применим формулу, если проверка совпала.
Ответ: (x + 4)². Чтобы проверить разложение, раскройте скобки: получится исходный трёхчлен.
Задача 2. Разложите на множители 25a² − 30ab + 9b². Крайние слагаемые являются квадратами, но при извлечении корней нужно сохранить числовые коэффициенты и буквенные части. Отрицательный средний член подсказывает, что следует проверить формулу квадрата разности.
Ответ: (5a − 3b)². Раскрытие скобок подтверждает и коэффициенты при квадратах, и знак среднего члена.
Задача 3. Разложите на множители 4x² + 12xy + 9y² − 1. Все четыре слагаемых сразу не образуют полный квадрат, поэтому сначала рассмотрим первые три. После этого выражение примет вид разности квадратов, которую можно разложить по отдельной формуле.
Ответ: (2x + 3y − 1)(2x + 3y + 1). Здесь распознавание полного квадрата стало первым шагом разложения, а не его окончанием.
Первая ошибка — считать трёхчлен полным квадратом только потому, что крайние слагаемые являются квадратами. Так можно пропустить несоответствие среднего члена, поскольку формула требует именно ±2ab. Проверяйте вычислением произведения корней и сравнивайте его удвоенное значение со средним слагаемым.
Вторая ошибка — поставить неверный знак в двучлене. Её допускают, когда смотрят только на корни крайних слагаемых и забывают проверить среднее. Сверьте знак: при +2ab нужен знак плюс, при −2ab — минус, а затем раскройте скобки для проверки.
Третья ошибка — забыть числовой коэффициент при извлечении корня, например принять корень из 25a² за a. Причина обычно в том, что замечают буквенную часть и не проверяют число. Возведите найденный корень в квадрат: (5a)² = 25a², тогда как a² не равно 25a².
Четвёртая ошибка — применять формулу, хотя средний член или крайние слагаемые не соответствуют её виду. В результате получается неверное равенство, даже если запись внешне похожа на квадрат двучлена. До преобразования проверьте оба условия, а после него раскройте скобки и сравните каждый член с исходным выражением.
Для работы с формулами нужно уметь возводить двучлен в квадрат и раскрывать скобки: обратное распознавание опирается на те же вычисления. Также понадобятся квадраты одночленов и правила их умножения, чтобы правильно найти корни крайних слагаемых и вычислить удвоенное произведение. Распознавание полного квадрата применяется при разложении выражений на множители и помогает преобразовывать уравнения к более удобному виду.
Как понять, что трёхчлен является полным квадратом?
Проверьте, являются ли первое и последнее слагаемые квадратами. Затем извлеките из них корни и убедитесь, что среднее слагаемое равно удвоенному произведению этих корней или противоположно ему. Только при выполнении обеих проверок трёхчлен можно представить квадратом двучлена.
Почему средний член должен быть удвоенным произведением?
При умножении двучлена на самого себя дважды появляется произведение его слагаемых: например, a · b и b · a. Вместе они дают 2ab. Поэтому именно удвоенное произведение корней крайних слагаемых должно стоять в середине полного квадрата.
Как определить знак между слагаемыми в двучлене?
Сравните знак среднего слагаемого трёхчлена со знаком в формуле. Если средний член положительный и равен 2ab, между слагаемыми двучлена ставится плюс. Если он отрицательный и равен −2ab, ставится минус.
Что делать, если перед квадратами стоят коэффициенты?
Найдите квадратный корень из всего крайнего слагаемого, включая коэффициент. Например, корень из 25a² — это 5a, а из 4x² — 2x. Затем проверьте, равен ли средний член удвоенному произведению найденных выражений.
Можно ли применить эту формулу, если средний член не подходит?
Напрямую применять формулу нельзя: равенство будет неверным. Проверьте, можно ли сначала вынести общий множитель или привести слагаемые к удобному порядку. Если после преобразования средний член всё равно не равен ±2ab, используйте другой способ разложения.
33. Разложение на множители с помощью формул квадрата суммы и квадрата разности
