"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.
Квадрат или куб суммы и разности двух выражений можно раскрыть по готовым формулам, не перемножая скобки каждый раз заново. В формулах квадратов важен средний член 2ab, а в формулах кубов — коэффициенты 1, 3, 3, 1 и порядок знаков. Эти правила помогают быстрее раскрывать скобки, упрощать многочлены, узнавать куб двучлена и проверять вычисления.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы двух выражений — это произведение суммы на себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). После умножения получается формула (a + b)² = a² + 2ab + b². Она позволяет быстро раскрыть скобки и не забыть произведения, которые возникают при умножении каждого слагаемого на каждое.
Квадрат разности двух выражений — произведение разности на себя: (a − b)² = (a − b)(a − b). Результат записывается так: (a − b)² = a² − 2ab + b². Формула нужна, чтобы правильно раскрывать скобки, когда между выражениями стоит минус, и учитывать знак среднего члена.
Куб суммы двух выражений — произведение суммы на её квадрат: (a + b)³ = (a + b)(a + b)². После раскрытия скобок получаем a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Эта формула помогает раскрыть куб двучлена короче, чем при последовательном перемножении трёх скобок.
Куб разности — произведение разности на её квадрат: (a − b)³ = (a − b)(a − b)². Формула имеет вид a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Она нужна для раскрытия куба разности и помогает не перепутать знаки слагаемых.
Чтобы получить квадрат суммы, перемножим скобки: (a + b)(a + b). По распределительному свойству каждое слагаемое первой скобки умножается на каждое слагаемое второй: a² + ab + ab + b². Оба средних произведения одинаковы, поэтому ab + ab = 2ab. Так возникает формула (a + b)² = a² + 2ab + b², а не просто сумма квадратов.
Для квадрата разности раскрываем произведение (a − b)(a − b). Оно даёт a² − ab − ab + b², потому что произведение a на −b и произведение −b на a отрицательны. Два средних члена складываются в −2ab. Последний член положителен: −b умножить на −b — это b², поскольку произведение двух отрицательных чисел положительно.
Куб суммы можно получить, умножив (a + b) на раскрытый квадрат суммы: (a + b)(a² + 2ab + b²). Распределяем множители и собираем подобные слагаемые: a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³. Слагаемые a²b встречаются дважды и ещё один раз, поэтому их становится три; так же трижды появляется ab². В итоге получаем коэффициенты 1, 3, 3, 1.
В формуле куба суммы заменим b на −b: (a + (−b))³ = a³ + 3a²(−b) + 3a(−b)² + (−b)³. Нечётная степень −b сохраняет минус, а квадрат −b становится положительным b². Поэтому получается a³ − 3a²b + 3ab² − b³: знаки чередуются, но средний член с ab² остаётся положительным.
Вместо a и b в формулах могут стоять не только отдельные числа или буквы, но и целые выражения. Сначала выдели две части двучлена и обозначь их, например, как a и b; затем подставь в нужную формулу, сохраняя скобки и знаки. После раскрытия проверь степени и коэффициенты, а результат можно проверить умножением исходных скобок по распределительному свойству.
| Выражение | Формула |
|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² |
| Куб суммы | (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
| Куб разности | (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
Перед применением формулы найди в скобках первое и второе выражения: они и будут a и b. Затем выбери строку с нужной степенью и знаком между выражениями. В конце проверь, что степени каждого множителя и знаки соответствуют формуле.
Задача 1. Раскройте скобки: (x + 3)². Здесь первое выражение a = x, а второе b = 3, поэтому подходит формула квадрата суммы. Особенно внимательно вычислим удвоенное произведение, ведь средний член появляется из двух одинаковых произведений.
Ответ: x² + 6x + 9. Проверка: (x + 3)(x + 3) даёт x² + 3x + 3x + 9, то есть тот же результат. Такая проверка подтверждает, что средний член равен 6x.
Задача 2. Раскройте скобки: (2a − 5b)³. Это куб разности, где первое выражение — 2a, а второе — 5b. Подставляем эти выражения вместо a и b в формуле; важно возвести в степень всё выражение, а не только его число.
Ответ: 8a³ − 60a²b + 150ab² − 125b³. Проверяем последовательность знаков: плюс, минус, плюс, минус. Степени переменных в каждом члене также соответствуют формуле куба разности.
Задача 3. Представьте выражение 8x³ − 36x²y + 54xy² − 27y³ в виде куба двучлена. Сначала сравним первый и последний члены с кубами: 8x³ = (2x)³, а 27y³ = (3y)³. Значит, предполагаемый двучлен имеет вид (2x − 3y), а его средние члены нужно проверить.
Ответ: (2x − 3y)³. Средние слагаемые совпали с исходными, поэтому выбранный двучлен подходит. При распознавании куба нельзя смотреть только на крайние члены: проверка двух средних подтверждает результат.
Ошибка: записывать (a + b)² = a² + b² и забывать 2ab. Так происходит, если возводить в квадрат каждое слагаемое отдельно, не перемножая скобки между собой. Проверь себя раскрытием (a + b)(a + b): в нём обязательно появятся ab и ba.
Ошибка: ставить минус перед последним членом в квадрате разности. Можно ошибочно решить, что знак минус в скобках делает отрицательными все члены. Проверка проста: последний член образуется при умножении (−b)(−b), а это +b².
Ошибка: записывать все члены куба разности со знаком минус. Здесь знак зависит от того, в какой степени находится второе выражение: при нечётных степенях оно отрицательно, при чётной — положительно. Подставь −b в формулу куба суммы и проверь результат: знаки должны идти как плюс, минус, плюс, минус.
Ошибка: путать 3a²b и 3ab² или забывать коэффициент 3. Это случается, когда не следят за тем, какая переменная возводится в квадрат, или считают средние члены только один раз. Сверь с формулой порядок степеней и отдельно проверь раскрытие умножением скобок.
Для вывода формул нужно уметь умножать многочлен на многочлен и пользоваться распределительным свойством: умножать каждое слагаемое на каждое. Также понадобятся навыки возведения произведения в степень и упрощения выражений. Если эти действия знакомы, формулы можно понять как короткую запись обычного умножения.
Формулы применяют при упрощении многочленов и разложении выражений на множители. Обратное распознавание помогает увидеть, что многочлен является квадратом или кубом двучлена. Кроме того, с их помощью удобно выполнять некоторые устные вычисления, представляя числа в виде суммы или разности.
Почему в квадрате суммы появляется член 2ab?
При умножении (a + b)(a + b) получаются два одинаковых произведения: ab и ba. Их сумма равна 2ab, поэтому средний член нельзя пропускать.
Почему квадрат разности заканчивается положительным b²?
Последний член возникает из произведения (−b)(−b). Произведение двух отрицательных множителей положительно, поэтому получается +b².
Как запомнить порядок членов в формуле куба?
Крайние члены — кубы первого и второго выражений: a³ и b³. Между ними стоят 3a²b и 3ab²: степень a сначала уменьшается, а степень b увеличивается.
Почему в кубе разности знаки чередуются?
Куб разности — это (a + (−b))³. При подстановке −b вместо b нечётные степени дают отрицательные члены, а чётная степень в среднем третьем члене — положительный.
Можно ли применять эти формулы, если вместо a и b стоят выражения?
Да, буквами a и b могут обозначаться любые выражения. Подставь их в формулу целиком, а затем аккуратно возведи каждое выражение в нужную степень и выполни умножение.
32. Возведение в квадрат и в куб суммы и разности двух выражений
