"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Разность квадратов — выражение, в котором из одного квадрата вычитают другой: a² − b². Его можно быстро разложить на множители по формуле a² − b² = (a − b)(a + b). Вместо a и b могут стоять числа, одночлены или целые выражения в скобках. Такой приём помогает преобразовывать многочлены, упрощать выражения и сокращать дроби. Главное — распознать оба квадрата и не перепутать знаки в множителях.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность квадратов — выражение вида a² − b², то есть из квадрата одного выражения вычитают квадрат другого. Например, x² − 9 — разность квадратов, потому что 9 = 3². Это название помогает сразу заметить, к какому преобразованию можно применить формулу.
Разложение на множители — представление выражения в виде произведения нескольких выражений. Например, вместо x² − 9 можно записать произведение двух скобок. Такая запись полезна, когда нужно упростить выражение или выполнить дальнейшие преобразования.
Формула разности квадратов записывается так: a² − b² = (a − b)(a + b). Буквы a и b могут обозначать как числа, так и целые выражения, например x + 1. Поэтому формула подходит не только для простых числовых примеров, но и для выражений со скобками.
Множители разности квадратов — сумма и разность тех же выражений, которые были возведены в квадрат: (a + b) и (a − b). Например, для x² − 16 это (x + 4) и (x − 4). Именно эти скобки образуют произведение, равное исходному выражению.
Формулу можно получить, раскрыв скобки в произведении (a − b)(a + b). По распределительному свойству умножаем каждый член первой скобки на каждый член второй: получаем a² + ab − ab − b². Средние слагаемые ab и −ab имеют одинаковое значение и противоположные знаки, поэтому их сумма равна нулю. Остаётся a² − b², значит, произведение действительно равно разности квадратов.
Чтобы распознать подходящее выражение, сначала найди знак между слагаемыми: нужен минус. Затем проверь, можно ли представить каждое слагаемое как квадрат числа или выражения. Например, в x² − 25 первое слагаемое — квадрат x, а второе — квадрат 5. Если хотя бы одно слагаемое не является квадратом в доступной записи, эта формула сразу не подходит.
Когда под квадратами стоят одночлены, важно найти квадрат всего одночлена, а не только его буквенную часть. В выражении x² − 25 получаем (x − 5)(x + 5), потому что 25 = 5². В выражении 9a² − b² первым квадратом является (3a)², а вторым — b²; значит, множителями будут (3a − b) и (3a + b).
Под квадратами могут находиться и составные выражения, то есть выражения из нескольких частей. В примере (x + 1)² − (x − 2)² удобно временно считать всю первую скобку выражением a, а всю вторую — выражением b. Формула даёт ((x + 1) − (x − 2))((x + 1) + (x − 2)). Скобки нужно сохранять, пока не учтены знаки перед каждым слагаемым.
Проверить результат можно обратным действием — раскрыть скобки. Для произведения (a − b)(a + b) снова появятся a², два противоположных слагаемых ab и −ab, а также −b². Средние члены исчезнут, и получится исходное выражение. Эта проверка особенно полезна, если в множителях есть составные скобки или числовые коэффициенты.
| Элемент | Как распознать или выполнить | Пример |
|---|---|---|
| Разность квадратов | Проверь, что из одного слагаемого вычитают другое и оба слагаемых являются квадратами. | x² − 25 = x² − 5² |
| Первый квадрат и выражение, из которого вычитают второй квадрат | Найди выражения, квадраты которых дают первое и второе слагаемые. | Для 9a² − b² это 3a и b. |
| Квадратный корень из первого и второго слагаемых | Определи, что именно возведено в квадрат; числовой коэффициент тоже учитывается. | √(25a²) = 5a, √(4b²) = 2b. |
| Формула разложения | Запиши произведение разности и суммы найденных выражений. | 25a² − 4b² = (5a − 2b)(5a + 2b) |
| Проверка результата раскрытием скобок | Раскрой скобки и сравни полученное выражение с исходным. | (x − 5)(x + 5) = x² − 25 |
Пользуйся таблицей по порядку: сначала убедись, что есть вычитание двух квадратов, а потом найди выражения под квадратами. После этого составь множители и проверь их раскрытием скобок. Такой порядок помогает не пропустить коэффициент и не перепутать знаки.
Нужно представить оба слагаемых как квадраты. Первое уже записано как квадрат x, а число 16 можно представить как 4². Теперь применим формулу и запишем множители с разностью и суммой.
Ответ: (x − 4)(x + 4). Проверка: при раскрытии скобок получаем x² + 4x − 4x − 16 = x² − 16.
Здесь квадраты не сразу видны в виде квадратов одночленов, поэтому отдельно проверим коэффициенты. 25 — это 5², а 4 — это 2²; значит, первое слагаемое равно (5a)², второе — (2b)². В формуле вместо a и b будут целые одночлены 5a и 2b.
Ответ: (5a − 2b)(5a + 2b). При проверке средние слагаемые будут противоположными: −10ab и +10ab, поэтому останется 25a² − 4b².
Обе части выражения уже являются квадратами, но под ними стоят скобки. Считаем каждую скобку целиком одним выражением и подставляем в формулу, не раскрывая квадраты по отдельности. После этого упростим оба полученных множителя.
Ответ: (4 − x)(3x + 2). В первом множителе при раскрытии скобок перед −1 меняется знак, потому что вычитается вся скобка (2x − 1).
Формулу иногда применяют к сумме квадратов, например пытаются разложить по ней x² + 9. Причина — в том, что замечают квадраты, но не проверяют знак между ними. Формула работает для разности, а не для суммы: перечитай выражение и убедись, что между квадратами стоит минус.
Другая ошибка — заменить a² − b² на (a − b)². При таком преобразовании получается квадрат разности, а это другое выражение: (a − b)² = a² − 2ab + b². Чтобы проверить себя, раскрой предполагаемые скобки и сравни все слагаемые с исходным выражением.
Можно по ошибке записать оба множителя с одинаковым знаком: например, два выражения с разностью или два с суммой. Это происходит, если запомнить только слова «сумма и разность», но не проверить их порядок. Запиши один множитель с минусом, другой с плюсом, а затем раскрой скобки: только противоположные средние члены уничтожатся.
При работе с коэффициентами легко пропустить числовую часть или потерять скобки у составного выражения. Например, 9a² — это (3a)², а в (x + 1)² роль одного выражения играет вся скобка, не только x. Перед применением формулы возведи найденные выражения в квадрат мысленно или проверь умножением, а при подстановке заключай составные части в скобки.
Для работы с разностью квадратов нужно уметь возводить в квадрат одночлены и выражения, распознавать квадрат числа или скобки и раскрывать скобки. Эти умения помогают найти выражения a и b и проверить результат обратным действием. Формула, в свою очередь, пригодится при разложении многочленов на множители, упрощении выражений и сокращении дробей. Поэтому точность в знаках и скобках важна и в следующих темах алгебры.
Как понять, что выражение является разностью квадратов?
Проверь, что между двумя слагаемыми стоит знак минус и каждое слагаемое можно представить как квадрат. Например, x² − 25 — разность квадратов, потому что 25 = 5². Затем найди выражения, квадраты которых получились.
Почему в формуле один множитель содержит сумму, а другой — разность?
При раскрытии скобок произведения (a − b)(a + b) средние слагаемые −ab и +ab взаимно уничтожаются. Остаются a² и −b², то есть исходная разность квадратов. Поэтому нужны именно два разных знака.
Можно ли применять формулу, если под квадратами стоят скобки?
Да. Каждую скобку можно считать одним выражением: например, в (x + 1)² − (x − 2)² роль a играет x + 1, а роль b — x − 2. Затем подставь эти выражения в формулу, сохраняя скобки.
Как разложить на множители выражение с числовыми коэффициентами?
Представь каждое слагаемое как полный квадрат, включая числовой коэффициент. Например, 25a² = (5a)², а 4b² = (2b)². После этого используй формулу разности квадратов.
Как проверить, что разложение выполнено правильно?
Раскрой скобки в полученном произведении. Если средние слагаемые уничтожаются, а остаются исходные квадраты с нужными знаками, разложение верно.
25. Разложение на множители разности квадратов
