"Алгебра", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др.
Разность n-х степеней — это выражение вида aⁿ − bⁿ, которое можно представить произведением двух множителей. Для этого используют формулу: aⁿ − bⁿ = (a − b)(a⁽ⁿ⁻¹⁾ + a⁽ⁿ⁻²⁾b + … + ab⁽ⁿ⁻²⁾ + b⁽ⁿ⁻¹⁾). Она помогает разлагать на множители выражения с числами и переменными, а затем при необходимости продолжать разложение. Главное — правильно определить основания степеней и не пропустить слагаемые.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность n-х степеней — выражение вида aⁿ − bⁿ, где a и b могут быть числами или выражениями, а n — натуральное число. Например, x³ − 2³ — разность третьих степеней. Это название помогает сразу заметить, что оба члена можно представить как одинаковые степени и применить специальную формулу.
Формула разности n-х степеней — равенство aⁿ − bⁿ = (a − b)(a⁽ⁿ⁻¹⁾ + a⁽ⁿ⁻²⁾b + … + ab⁽ⁿ⁻²⁾ + b⁽ⁿ⁻¹⁾). Оно верно при любом натуральном n. Формула показывает, на какие множители можно заменить разность степеней, поэтому помогает не выполнять длинные преобразования наугад.
Разложение на множители — представление выражения в виде произведения нескольких выражений. В этой теме разность степеней превращают в произведение двух множителей: разности оснований и суммы из нескольких слагаемых. Такая запись удобна, если нужно упростить выражение или продолжить разложение одного из множителей.
Формулу можно проверить, раскрыв скобки в произведении. Каждый член суммы во втором множителе умножается сначала на a, а затем на −b. Например, при a³ − b³ получается (a − b)(a² + ab + b²): после умножения возникают a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³. Слагаемые a²b и ab² уничтожаются парами, поэтому остаются a³ − b³.
Первый множитель равен a − b, потому что именно эти два числа дают крайние части произведения: умножение a на первый член второго множителя приводит к aⁿ, а умножение −b на последний — к −bⁿ. Между ними возникают одинаковые слагаемые с противоположными знаками. Они сокращаются, если во втором множителе правильно подобраны степени и порядок членов.
Второй множитель устроен по понятному правилу. В каждом слагаемом сумма показателей степеней a и b равна n − 1: например, при n = 5 это a⁴, a³b, a²b², ab³, b⁴. Степень a уменьшается от n − 1 до нуля, а степень b одновременно увеличивается от нуля до n − 1. Поэтому слагаемых ровно n, и ни одно из них нельзя пропускать.
Чтобы применить формулу к выражению с числами и переменными, сначала представь оба члена как одинаковые степени. Например, 8 = 2³, поэтому x³ − 8 можно записать как x³ − 2³; основаниями будут x и 2. В выражении 32x⁵ − 1 можно заметить, что 32x⁵ = (2x)⁵, а 1 = 1⁵. Затем основания подставляют на места a и b, сохраняя порядок: первое основание соответствует первому члену разности.
После первого разложения проверь каждый полученный множитель: возможно, его можно разложить дальше. Например, разность четвёртых степеней сначала раскладывается как a⁴ − b⁴ = (a − b)(a³ + a²b + ab² + b³). Но первый множитель a − b в этом конкретном примере не обязательно раскладывается, а если встретится разность квадратов a² − b², её можно представить как (a − b)(a + b). Такая проверка помогает получить полное разложение.
| Что рассматриваем | Общий вид | Пример |
|---|---|---|
| Исходное выражение | aⁿ − bⁿ | x³ − 2³ |
| Первый множитель | a − b | x − 2 |
| Второй множитель | a⁽ⁿ⁻¹⁾ + a⁽ⁿ⁻²⁾b + … + b⁽ⁿ⁻¹⁾ | x² + 2x + 4 |
| Разложение разности кубов | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4) |
| Разложение разности четвёртых степеней | a⁴ − b⁴ = (a − b)(a³ + a²b + ab² + b³) | x⁴ − 1 = (x − 1)(x³ + x² + x + 1) |
Сначала найди основания a и b, затем выбери нужный ряд формулы по показателю степени. Чтобы проверить второй множитель, посчитай его слагаемые и проследи, как меняются степени оснований.
Представим число 8 как третью степень: 8 = 2³. Тогда исходное выражение имеет вид x³ − 2³, то есть a³ − b³, где a = x, b = 2.
Используем формулу разности кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Подставим вместо a выражение x, а вместо b число 2.
Запишем множители: x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4). Проверка раскрытием скобок покажет, что промежуточные слагаемые сокращаются.
Ответ: (x − 2)(x² + 2x + 4).
Заметим, что 16a⁴ = (2a)⁴. Поэтому выражение можно записать как (2a)⁴ − b⁴, где основания — 2a и b.
Применим формулу для четвёртых степеней: (2a − b)((2a)³ + (2a)²b + (2a)b² + b³). После вычисления степеней получим (2a − b)(8a³ + 4a²b + 2ab² + b³).
Проверим, можно ли разложить дальше. В исходном выражении есть разность квадратов: 16a⁴ − b⁴ = (4a²)² − (b²)², поэтому она раскладывается на (4a² − b²)(4a² + b²).
Первый множитель снова является разностью квадратов: 4a² − b² = (2a − b)(2a + b). Второй, 4a² + b², как сумма квадратов по изученным формулам дальше не раскладывается.
Ответ: (2a − b)(2a + b)(4a² + b²).
Представим оба члена как пятые степени: 32x⁵ = (2x)⁵, а 1 = 1⁵. Значит, a = 2x, b = 1 и n = 5.
Первый множитель равен a − b, то есть 2x − 1. Во втором множителе должно быть пять слагаемых: степень 2x убывает от четвёртой до нулевой, а степень 1 можно не записывать.
Подставим основания в формулу: (2x)⁴ + (2x)³ · 1 + (2x)² · 1² + (2x) · 1³ + 1⁴. После упрощения получим 16x⁴ + 8x³ + 4x² + 2x + 1.
Ответ: 32x⁵ − 1 = (2x − 1)(16x⁴ + 8x³ + 4x² + 2x + 1).
Формулу разности применяют к сумме степеней, например пытаются разложить aⁿ + bⁿ тем же способом. Ошибка появляется, когда ученик замечает степени, но не проверяет знак между ними. Перед подстановкой посмотри на исходную запись: между членами должен стоять знак минус.
Во втором множителе меняют порядок слагаемых или пропускают одно из них. Тогда при раскрытии скобок не все промежуточные члены сокращаются. Проверяй, что степень первого основания последовательно уменьшается на единицу, степень второго растёт, а число слагаемых равно n.
Иногда неверно определяют основание: например, считают, что 8 = 2², хотя на самом деле 8 = 2³. Это приводит к выбору формулы с неправильным показателем степени. Возведи найденное основание в предполагаемую степень и убедись, что получилось исходное число.
После применения формулы могут остановиться, хотя один из множителей раскладывается дальше. Так бывает, если не проверить результат по знакомым формулам сокращённого умножения. Просмотри множители ещё раз и отдельно проверь, нет ли среди них разности квадратов или других выражений, которые можно разложить.
Для этой темы нужны свойства степеней и умение раскрывать скобки при умножении многочленов: именно так проверяют формулу и её результат. Формула разности n-х степеней связана с разностью квадратов и другими формулами сокращённого умножения, которые помогают продолжать разложение. Разложение на множители пригодится при решении уравнений и сокращении дробей: произведение часто удобнее исходного выражения.
Для каких натуральных n работает формула разности степеней?
Формула работает при любом натуральном n: 1, 2, 3 и так далее. При n = 1 второй множитель равен 1, поэтому равенство тоже верно.
Почему в формуле первый множитель — a − b?
При умножении суммы второго множителя на a и на −b соседние слагаемые сокращаются. В результате остаются только крайние части: aⁿ и −bⁿ.
Сколько слагаемых должно быть во втором множителе?
Во втором множителе ровно n слагаемых. Степень a начинается с n − 1 и уменьшается на единицу в каждом следующем слагаемом.
Как понять, какие числа или выражения выбрать за a и b?
Нужно представить исходное выражение как разность двух одинаковых степеней. Например, в x³ − 8 можно записать 8 = 2³, значит, основания — x и 2.
Нужно ли продолжать разложение, если один из полученных множителей тоже раскладывается?
Да, если множитель можно разложить дальше, продолжай, пока это возможно. Например, разность квадратов раскладывается по формуле a² − b² = (a − b)(a + b).
32. Разложение на множители разности n-х степеней
