"Алгебра (углублённый уровень)", Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др./Под ред.Теляковского С.А.
Целое выражение можно представить в виде многочлена — суммы одночленов, в которой нет переменных в знаменателе. Для этого раскрывают скобки по распределительному свойству, перемножают одночлены, а затем приводят подобные слагаемые. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складывают. Такие преобразования помогают упрощать выражения, решать уравнения и подготавливают к изучению формул сокращённого умножения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Целое выражение составлено из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень; переменная не стоит в знаменателе. Например, 2x(x − 3) — целое выражение, а 1/x — нет. Это понятие помогает определить, какие выражения можно преобразовать в многочлен раскрытием скобок.
Одночлен — произведение чисел и переменных, возведённых в натуральные степени; числовой множитель называют коэффициентом одночлена. Например, в −4a²b коэффициент равен −4. Одночлены — отдельные «строительные части» многочлена, которые возникают при раскрытии скобок и перемножении выражений.
Многочлен — сумма одночленов, причём слагаемые можно записывать в любом порядке. Так, 3x² − 2x + 5 и 5 + 3x² − 2x — записи одного многочлена. Это понятие нужно, чтобы получить удобную форму выражения после раскрытия скобок.
Подобные слагаемые — одночлены с одинаковой буквенной частью, включая одинаковые показатели степеней. Например, 3x² и −5x² подобны, а 3x² и 3x — нет. Их можно объединить: складывают или вычитают коэффициенты, оставляя буквенную часть прежней; так запись становится короче.
Чтобы превратить целое выражение в многочлен, скобки раскрывают по распределительному свойству: множитель перед скобками умножают на каждое слагаемое внутри. Это свойство следует из смысла умножения суммы: несколько одинаковых групп можно посчитать по частям. При вычитании перед слагаемым стоит отрицательный знак, поэтому его нельзя терять. Например, 2(x − 3) = 2x − 6, а не 2x − 3.
При умножении одночленов сначала перемножают коэффициенты, затем разбираются с буквами. Если основания одинаковы, показатели степеней складывают: x² · x³ = x · x · x · x · x = x⁵. Именно столько множителей x получается в произведении, поэтому показатели не перемножают. Если переменные разные, их записывают рядом: 2a · 3b = 6ab.
Когда одночлен умножают на многочлен, его распределяют на каждое слагаемое в скобках. Причина та же: умножение суммы на число равно сумме произведений. Знак каждого слагаемого участвует в умножении: 3(x − 2) = 3x − 6, потому что 3 · (−2) = −6. Если забыть хотя бы одно слагаемое, получится уже другое выражение.
При умножении двух многочленов каждый член первой скобки умножают на каждый член второй. Например, в произведении (a + b)(c + d) возникают четыре произведения: ac, ad, bc и bd. Это можно представить как последовательное распределение умножения сначала на сумму c + d, а затем на слагаемые a и b. После этого все полученные одночлены записывают вместе и упрощают.
После раскрытия скобок приводят подобные слагаемые, потому что одинаковые буквенные части можно объединить, как одинаковые предметы считают вместе. Например, 4x − x = 3x, но x и x² объединить нельзя. В конце часто упорядочивают слагаемые, чтобы многочлен было легче читать и сравнивать с другими выражениями. Такая упорядоченная запись называется стандартной формой многочлена.
| Преобразование | Правило | Пример |
|---|---|---|
| Сложение и вычитание многочленов | Раскрыть скобки с учётом знаков, затем привести подобные слагаемые. | (2x + 1) − (x − 3) = x + 4 |
| Умножение одночленов | Перемножить коэффициенты, показатели степеней одинаковых переменных сложить. | 2x² · 3x = 6x³ |
| Умножение одночлена на многочлен | Умножить одночлен на каждое слагаемое в скобках. | 2x(x − 3) = 2x² − 6x |
| Умножение многочленов | Перемножить каждое слагаемое одного многочлена с каждым слагаемым другого. | (x + 1)(x + 2) = x² + 3x + 2 |
| Приведение подобных слагаемых | Сложить или вычесть коэффициенты при одинаковой буквенной части. | 5a − 2a = 3a |
Пользуйся таблицей как последовательностью действий: выбери нужный вид преобразования и выполни его правило. В примерах можно проследить, какие слагаемые умножаются и где объединяются подобные. Если в выражении несколько действий, сначала раскрой скобки, а затем упрости результат.
Задача 1. Преобразуйте в многочлен: 3x(2x − 5). Здесь одночлен умножается на двучлен, поэтому число 3x нужно умножить на оба слагаемых в скобках. Минус у числа 5 сохраняется и влияет на знак второго произведения.
Ответ: 6x² − 15x.
Задача 2. Преобразуйте в многочлен: (x + 4)(x − 3). В каждой скобке по два слагаемых, значит, нужно получить все четыре попарных произведения. Затем проверяем, есть ли среди результатов подобные слагаемые, и объединяем их.
Ответ: x² + x − 12.
Задача 3. Преобразуйте в многочлен: (2a − 3)(a + 5) − 2a(a − 1). Сначала раскрываем обе пары скобок отдельно, иначе легко потерять знак перед вторым произведением. После этого учитываем, что перед 2a(a − 1) стоит минус: он меняет знаки обоих слагаемых результата.
Ответ: 9a − 15.
Иногда одночлен умножают только на первое слагаемое в скобках. Так происходит, когда воспринимают скобки как одно целое и забывают распределительное свойство. Проверка простая: для каждого слагаемого в скобках должна появиться отдельная строка произведения, например в 2(x + 3) их две.
Другая ошибка — потерять знак или неверно раскрыть скобки после минуса. Ученик может заменить −(a − b) на −a − b, хотя второе слагаемое при умножении на −1 становится положительным. Раскрывай скобки по одному слагаемому и умножай каждое на знак перед скобкой; затем проверь, что минус изменил оба знака.
При умножении степеней иногда перемножают показатели: считают, что x² · x³ = x⁶. Ошибка возникает из-за смешения правил для умножения степеней и возведения степени в степень. Распиши множители: x² · x³ = x · x · x · x · x = x⁵, значит, показатели здесь складываются.
Нельзя складывать коэффициенты у неподобных слагаемых: например, 2x + 3x² не равно 5x³. Такое делают, потому что замечают числа 2 и 3, но не сравнивают буквенные части. Перед объединением обведи буквы с показателями: сложить коэффициенты можно только тогда, когда эта часть совпадает полностью.
Для раскрытия скобок нужны распределительное свойство умножения и правила действий с отрицательными числами. При умножении одночленов также применяются свойства степеней с натуральными показателями, в частности правило сложения показателей при одинаковых основаниях. Поэтому уверенное владение этими темами помогает не терять знаки и верно упрощать выражения.
Преобразование многочленов используют, чтобы упрощать выражения и решать уравнения: компактная запись часто делает следующий шаг очевиднее. Эти действия пригодятся и при изучении формул сокращённого умножения. Такие формулы позволяют быстрее преобразовывать некоторые произведения многочленов.
Что называют целым выражением?
Целым называют выражение, составленное из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и возведения в натуральную степень. Переменная в таком выражении не стоит в знаменателе.
Чем многочлен отличается от одночлена?
Одночлен — это произведение чисел и переменных, например 3x². Многочлен — сумма одночленов, например 3x² − 2x + 1; одночлен можно считать многочленом из одного слагаемого.
Как раскрыть скобки, если перед ними стоит минус?
Минус перед скобками означает, что всё выражение в скобках умножается на −1. Поэтому знак каждого слагаемого меняется на противоположный: −(a − b) = −a + b.
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают?
Степень показывает, сколько раз основание входит в произведение. При умножении a² на a³ получается пять множителей a, поэтому a² · a³ = a⁵ и показатели 2 и 3 складываются.
Какие слагаемые можно привести?
Приводить можно подобные слагаемые — те, у которых одинаковая буквенная часть с одинаковыми показателями степеней. Складывают или вычитают только их коэффициенты, а буквенную часть оставляют без изменений.
37. Преобразование целого выражения в многочлен
