"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Разность квадратов — это выражение, в котором из одного квадрата вычитают другой, например x² − 16. Его можно быстро разложить на множители с помощью формулы a² − b² = (a − b)(a + b). Для этого нужно определить, какие выражения возведены в квадрат, а затем записать их разность и сумму в скобках. Такой приём помогает упрощать выражения, сокращать дроби и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разность квадратов — выражение вида a² − b², в котором из квадрата одного выражения вычитают квадрат другого. Здесь a и b могут обозначать числа, переменные или выражения. Например, x² − 25 — разность квадратов, потому что 25 = 5². Это понятие помогает заметить особый вид выражения и выбрать подходящий способ его преобразования.
Формула разности квадратов — равенство a² − b² = (a − b)(a + b), позволяющее представить разность квадратов в виде произведения. В первой скобке записывают разность исходных выражений, а во второй — их сумму. Формула нужна, чтобы вместо вычислений с квадратами получить произведение двух более простых выражений. Например, x² − 16 можно заменить произведением (x − 4)(x + 4).
Разложение на множители по формуле разности квадратов — это замена выражения a² − b² произведением разности и суммы исходных выражений. Множители — это выражения, которые перемножаются между собой. Такое разложение не меняет значение исходного выражения, а лишь записывает его иначе. Оно бывает полезно, когда нужно упростить выражение, сократить дробь или решить уравнение.
Рассмотрим произведение (a − b)(a + b) и раскроем скобки: получим a² + ab − ab − b². Слагаемые +ab и −ab имеют одинаковую величину, но противоположные знаки, поэтому их сумма равна нулю. Остаются только a² и −b², то есть исходная разность квадратов. Именно взаимное уничтожение смешанных слагаемых объясняет, почему формула работает.
Чтобы распознать разность квадратов, сначала посмотри на знак между слагаемыми: должно быть вычитание. Затем проверь, можно ли представить каждое слагаемое как квадрат числа, переменной или одночлена. Например, x² − 9 подходит, потому что x² — квадрат x, а 9 = 3². Выражение x² + 9 не подходит: это сумма квадратов, и нужное вычитание в нём отсутствует.
После распознавания найди выражения, квадраты которых записаны в разности. Если исходная запись имеет вид a² − b², такими выражениями будут a и b. Подставь их в формулу: сначала поставь в скобки разность a − b, затем сумму a + b. Так получается произведение (a − b)(a + b), равное исходной разности. Следи за тем, чтобы во второй скобке был знак плюс.
Числовые и буквенные части тоже нужно представить квадратами. Например, в выражении x² − 25 число 25 — это 5², а не 25², поэтому запись становится x² − 5². В выражении 4m² − n² первое слагаемое равно (2m)², а второе — n². После этого можно применить формулу, взяв за a выражение 2m, а за b — n.
Готовое разложение удобно проверить раскрытием скобок. Перемножь разность и сумму, как в обычном раскрытии скобок, а затем приведи подобные слагаемые. Смешанные слагаемые должны взаимно уничтожиться, и в результате должны остаться исходные квадраты с исходными знаками. Если получилось другое выражение, проверь, правильно ли ты определил квадратные корни и поставил знак во второй скобке.
| Выражение | Как распознать квадраты | Разложение на множители |
|---|---|---|
| a² − b² | Квадраты выражений a и b | (a − b)(a + b) |
| x² − 9 | x² и 9 = 3² | (x − 3)(x + 3) |
| 4m² − n² | 4m² = (2m)², n² = n² | (2m − n)(2m + n) |
| 25p² − 16q² | 25p² = (5p)², 16q² = (4q)² | (5p − 4q)(5p + 4q) |
Сначала найди квадратный корень каждого слагаемого, не меняя их порядок. Затем подставь полученные выражения в разность и сумму по формуле. Если после проверки раскрытием скобок получилось исходное выражение, разложение выполнено верно.
Проверим вид выражения: между слагаемыми стоит знак вычитания, а оба слагаемых являются квадратами. Первое слагаемое — x², второе можно представить как 4². Значит, здесь применима формула разности квадратов.
Определим выражения, квадраты которых стоят в разности: это x и 4. Подставим их вместо a и b в формулу a² − b² = (a − b)(a + b). Получим x² − 16 = (x − 4)(x + 4).
Для проверки раскроем скобки: (x − 4)(x + 4) = x² + 4x − 4x − 16. Слагаемые 4x и −4x уничтожаются, поэтому остаётся x² − 16. Результат совпал с исходным выражением.
Ответ: (x − 4)(x + 4).
Проверим оба слагаемых: 9a² можно записать как (3a)², потому что 3² = 9, а 25b² — как (5b)². Между слагаемыми стоит минус, следовательно, перед нами разность квадратов. Квадратными корнями слагаемых будут 3a и 5b.
В формуле вместо a используем 3a, а вместо b — 5b. Запишем разность этих выражений в первой скобке и сумму во второй. Получаем 9a² − 25b² = (3a − 5b)(3a + 5b).
Проверим запись раскрытием скобок: произведение даёт 9a² + 15ab − 15ab − 25b². Средние слагаемые взаимно уничтожаются, поэтому остаётся 9a² − 25b². Это исходное выражение, значит, разложение верно.
Ответ: (3a − 5b)(3a + 5b).
В обоих слагаемых есть общий множитель 3, поэтому сначала вынесем его за скобки: 3x² − 27 = 3(x² − 9). Так удобнее, потому что выражение в скобках стало разностью квадратов. Число 9 равно 3².
Применим формулу к x² − 9: здесь квадратами являются x² и 3². Получим 3(x² − 9) = 3(x − 3)(x + 3). Общий множитель 3 остаётся перед произведением.
Чтобы найти значение выражения при x = 4, подставим 4 вместо каждой x. Получим 3(4 − 3)(4 + 3) = 3 · 1 · 7 = 21. Можно проверить вычисление по исходной записи: 3 · 4² − 27 = 48 − 27 = 21.
Ответ: 3(x − 3)(x + 3); при x = 4 значение выражения равно 21.
Применять формулу к сумме квадратов. Ученик может заметить два квадрата и не обратить внимания на знак между ними. Но формула a² − b² работает только при вычитании; выражение a² + b² по ней разложить нельзя. Перед преобразованием проверь знак между слагаемыми.
Записывать a² − b² как (a − b)². Эти записи похожи, поэтому их легко перепутать. При возведении разности в квадрат появляется дополнительный член: (a − b)² = a² − 2ab + b². Раскрой скобки и сравни полученный результат с исходным выражением.
Ставить минус во второй скобке. Запись (a − b)(a − b) означает квадрат разности, а не разность квадратов. Такая ошибка возникает, если повторить знак из первой скобки, не вспомнив формулу. Проверь, что записаны именно разность и сумма: (a − b)(a + b).
Неверно определять квадратный корень слагаемого. Например, можно принять 25 за квадрат числа 25, хотя 25 = 5². Тогда в скобки попадут неправильные выражения, и проверка не даст исходного результата. Возведи найденное число или одночлен в квадрат: должно получиться исходное слагаемое.
Для работы с разностью квадратов нужно уметь возводить числа и одночлены в квадрат и узнавать полученный результат. Формула связана с раскрытием скобок: раскрытие произведения (a − b)(a + b) показывает, почему равенство верно. Это одна из формул сокращённого умножения — равенств, которые помогают быстрее преобразовывать выражения. Разложение на множители затем пригодится при упрощении выражений, сокращении дробей и решении уравнений.
Как понять, что выражение можно разложить по формуле разности квадратов?
Проверь, что между двумя слагаемыми стоит знак вычитания и оба слагаемых являются квадратами. Например, x² − 9 — разность квадратов, потому что 9 = 3². Тогда можно применить формулу a² − b² = (a − b)(a + b).
Почему a² − b² не равно (a − b)²?
Если возвести разность в квадрат, получится (a − b)² = a² − 2ab + b². Здесь есть дополнительное слагаемое −2ab, поэтому выражения обычно не равны. Например, при a = 3 и b = 1 первое выражение равно 8, а второе — 4.
Можно ли применить формулу к сумме квадратов?
Нет, формула a² − b² = (a − b)(a + b) относится только к разности квадратов. В сумме a² + b² нет вычитания, поэтому эта формула к ней неприменима.
Как разложить выражение, если перед квадратами стоят коэффициенты?
Сначала представь каждое слагаемое как квадрат целого выражения. Например, 9a² = (3a)², а 25b² = (5b)², поэтому 9a² − 25b² = (3a − 5b)(3a + 5b).
Что делать, если у выражения сначала нужно вынести общий множитель?
Сначала вынеси общий множитель за скобки, а затем проверь выражение в скобках. Например, 3x² − 27 = 3(x² − 9), а разность квадратов в скобках раскладывается так: 3(x − 3)(x + 3).
4.3.2. Разность квадратов
