"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Куб суммы и куб разности — выражения, в которых сумма или разность двух частей возводится в третью степень. Для их раскрытия используют формулы: они помогают быстро получить многочлен, не перемножая три скобки каждый раз. В каждой формуле четыре слагаемых с коэффициентами 1, 3, 3, 1. У куба суммы все знаки положительные, а у куба разности они чередуются.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Куб суммы — выражение вида (a + b)³. В третью степень возводится вся сумма a + b, а не каждое слагаемое отдельно. Такая запись нужна, когда сумму удобно заменить многочленом с помощью формулы.
Куб разности — выражение вида (a − b)³. Здесь в третью степень возводится вся разность a − b, заключённая в скобки. Это обозначение помогает не спутать куб разности с разностью кубов a³ − b³.
Формула куба суммы — тождество (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Тождество — равенство, верное при любых значениях букв. Формула нужна, чтобы быстро раскрывать скобки и видеть все слагаемые результата.
Формула куба разности — тождество (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Она позволяет раскрыть куб разности, сохранив правильные знаки. При чтении формулы следите за скобками: в степень возведено всё выражение внутри них.
Чтобы раскрыть куб суммы, представим его как произведение трёх одинаковых множителей: (a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b). Сначала перемножим две скобки: получим a² + 2ab + b², а затем умножим результат на третью скобку. После раскрытия появятся a³, три слагаемых с видом a²b, три слагаемых с видом ab² и b³.
Коэффициенты 1, 3, 3, 1 показывают, сколько раз возникает каждое одинаковое произведение. Чтобы получить a³, нужно взять a из каждой скобки, а b³ получается, если каждый раз выбрать b. Произведение a²b возникает тремя способами: b можно выбрать из первой, второй или третьей скобки. Для ab² тоже есть три способа выбрать a, поэтому после приведения подобных слагаемых получаются 3a²b и 3ab².
Куб разности раскрывается как (a − b)(a − b)(a − b). При умножении нужно учитывать, что каждый выбор −b добавляет минус: например, a² и один множитель −b дают −a²b. Если выбрать −b дважды, минус на минус даёт плюс, поэтому слагаемые ab² имеют знак плюс. Если выбрать −b из всех трёх скобок, произведение будет −b³; отсюда знаки формулы: плюс, минус, плюс, минус.
Обе формулы связаны заменой: если в формуле куба суммы вместо b написать −b, левая часть станет (a + (−b))³, то есть (a − b)³. Справа получим a³ + 3a²(−b) + 3a(−b)² + (−b)³. Так как (−b)² = b², а (−b)³ = −b³, выходит формула куба разности. Эта проверка помогает восстановить знаки, если формулу трудно вспомнить.
Чтобы узнать куб суммы или разности, сначала проверьте, что всё выражение заключено в скобки и возведено в третью степень. Затем назовите две части: первая будет a, вторая — b, учитывая знак между ними. Например, в (2x − 3y)³ можно взять a = 2x и b = 3y, а знак минус уже учтён в формуле куба разности. Если часть составная, подставляйте её целиком и сохраняйте скобки при возведении в степень.
| Свойство | Куб суммы | Куб разности |
|---|---|---|
| Запись выражения в скобках | (a + b)³ | (a − b)³ |
| Формула раскрытия скобок | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ |
| Знаки слагаемых | Все положительные | Плюс, минус, плюс, минус |
| Коэффициенты слагаемых | 1, 3, 3, 1 | 1, 3, 3, 1 |
| Порядок степеней a и b | a³b⁰, a²b, ab², a⁰b³ | a³b⁰, a²b, ab², a⁰b³ |
Сначала найдите в исходном выражении скобки и определите знак между двумя частями. Затем выберите соответствующую формулу и подставьте вместо a и b нужные выражения. В последней строке таблицы степени a уменьшаются от 3 до 0, а степени b увеличиваются от 0 до 3.
В скобках стоит сумма двух частей: переменной x и числа 2. Значит, используем формулу куба суммы, где a = x, а b = 2. Подставляем эти значения и вычисляем степени и произведения.
Ответ: x³ + 6x² + 12x + 8.
Выражение уже записано как четыре слагаемых с коэффициентами 1, 3, 3, 1. Знаки чередуются, поэтому это формула куба разности, где a = 51, b = 1. Вместо вычисления каждого большого слагаемого отдельно свернём выражение в куб разности.
Ответ: 125 000.
Здесь обе части скобок — выражения, поэтому важно подставить их целиком: a = 2x, b = 3y. Между ними стоит минус, значит, применяем формулу куба разности. После подстановки отдельно вычисляем кубы и произведения, не забывая возводить в степень числовые коэффициенты и переменные.
Ответ: 8x³ − 36x²y + 54xy² − 27y³.
Иногда записывают (a + b)³ = a³ + b³. Так ошибочно переносят на куб неверное упрощение, хотя даже для квадрата суммы есть среднее слагаемое. Проверьте ответ раскрытием трёх скобок: произведения a²b и ab² не исчезают, значит, в кубе суммы должны быть два средних слагаемых.
В формуле куба разности могут поставить минус перед каждым слагаемым. Это происходит, если запоминают только знак между a и b и не учитывают произведения двух отрицательных множителей. Проверка простая: при двух множителях −b знак становится положительным, поэтому перед 3ab² стоит плюс; правильная последовательность — плюс, минус, плюс, минус.
Ещё одна ошибка — забыть коэффициенты 3 у средних слагаемых. При раскрытии трёх скобок каждый из двух видов средних произведений возникает тремя способами, поэтому одного экземпляра недостаточно. Чтобы проверить запись, пересчитайте способы выбора: для a²b выбирают b из одной из трёх скобок, а для ab² — a из одной из трёх.
При подстановке составного выражения можно потерять скобки или возвести в степень только его часть. Например, (3y)² = 9y², а не 3y²: в квадрат возводятся и 3, и y. Подставляйте выражения в формулу со скобками и проверяйте отдельно степень каждого множителя.
Для работы с формулами нужно уметь раскрывать скобки, умножать многочлены и возводить одночлен в степень. Именно эти действия позволяют вывести тождества и проверить полученный результат. Если пока трудно перемножать три скобки, можно начать с умножения двух, а затем домножить на третью.
Куб суммы и куб разности связаны с квадратом суммы и квадратом разности: во всех этих формулах выражения в скобках раскрываются в многочлены. Знакомые правила умножения помогают проверить вычисления, а подстановка −b в формулу куба суммы объясняет знаки формулы куба разности.
Эти формулы пригодятся для устных вычислений и преобразования многочленов: длинное выражение можно свернуть в куб двучлена, если оно совпадает с формулой. Такие преобразования продолжают изучение формул сокращённого умножения и помогают узнавать удобные способы вычислений.
Почему в формулах куба суммы и разности появляются коэффициенты 3?
При раскрытии трёх скобок некоторые одинаковые произведения получаются тремя разными способами. Например, в кубе суммы произведение a²b возникает, если b выбрать из любой одной из трёх скобок, поэтому перед ним стоит 3.
Как не перепутать знаки в формуле куба разности?
Запомните, что знаки чередуются, начиная с плюса: +, −, +, −. Поэтому (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³.
Можно ли применить формулу, если вместо a и b стоят выражения?
Да, вместо букв можно подставлять любые выражения. Записывайте их в скобках, чтобы при возведении в степень или умножении не потерять их части и знаки.
Чем куб суммы отличается от суммы кубов?
Куб суммы — это (a + b)³, то есть вся сумма возведена в третью степень. Сумма кубов — это a³ + b³; она не равна кубу суммы, потому что при раскрытии скобок у куба суммы появляются ещё два средних слагаемых.
Как проверить, правильно ли раскрыты скобки?
Сверьте результат с формулой: проверьте четыре слагаемых, коэффициенты 1, 3, 3, 1 и знаки. Можно также перемножить исходные три скобки по очереди и сравнить полученный многочлен с результатом.
4.3.3. Куб суммы и разности
