"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Сумма и разность кубов — выражения вида a³ + b³ и a³ − b³. Для них существуют специальные формулы разложения на множители: они превращают один многочлен в произведение двух более простых выражений. Главное — увидеть кубы, правильно определить их основания и не перепутать знаки во втором множителе. Эти формулы помогают упрощать выражения и решать уравнения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Сумма кубов — выражение вида a³ + b³, где a и b могут быть числами или алгебраическими выражениями. Например, x³ + 8 — это сумма кубов, потому что 8 = 2³. Такое выражение можно разложить на множители по специальной формуле.
Разность кубов — выражение вида a³ − b³. Примерами служат x³ − 27 и 8a³ − b³. Для разложения такой формы используется отдельная формула, потому что знак между кубами влияет на знаки внутри множителей.
Формула суммы кубов: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Множитель a + b содержит сумму оснований кубов, а второй множитель состоит из квадратов оснований и их произведения. Вместе они превращают сумму кубов в произведение.
Формула разности кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Первый множитель повторяет разность оснований, а во втором стоят квадраты оснований и произведение ab со знаком плюс. Буквы a и b здесь обозначают не только числа, но и любые подходящие выражения.
Проверим формулу суммы кубов раскрытием скобок: (a + b)(a² − ab + b²) = a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³. Слагаемые −a²b и +a²b уничтожаются, как и +ab² и −ab². Поэтому остаются только a³ + b³, то есть исходная сумма кубов.
Для разности получаем (a − b)(a² + ab + b²) = a³ + a²b + ab² − a²b − ab² − b³. Средние слагаемые снова попарно сокращаются, и результатом становится a³ − b³. Поэтому в первом множителе нужна разность, а во втором — сумма трёх слагаемых: так смешанные члены взаимно уничтожаются.
Сравнение формул помогает не запутаться в знаках. Знак между кубами повторяется в первом множителе: плюс даёт a + b, минус даёт a − b. Во втором множителе средний член имеет противоположный знак, а квадраты a² и b² всегда записываются со знаком плюс.
Чтобы распознать нужную форму, сначала выделите два слагаемых и проверьте каждое из них на куб. Числовой коэффициент и буквенную часть нужно представить вместе: 8x³ = (2x)³, потому что (2x)³ = 8x³. После этого выражение должно выглядеть как A³ + B³ или A³ − B³.
Разложение выполняют в определённом порядке. Сначала находят основания кубов A и B, затем выбирают формулу суммы или разности и записывают первый множитель с тем же знаком. Во второй множитель подставляют A², AB и B², а в конце раскрывают скобки для проверки.
| Выражение | Формула разложения | Знак первого множителя | Знаки второго множителя |
|---|---|---|---|
| Сумма кубов a³ + b³ | (a + b)(a² − ab + b²) | Плюс | Плюс, минус, плюс |
| Разность кубов a³ − b³ | (a − b)(a² + ab + b²) | Минус | Плюс, плюс, плюс |
Сначала найдите в первом столбце форму своего выражения, а затем используйте формулу из второго столбца. Третий столбец напоминает, какой знак поставить в первом множителе. Последний столбец помогает правильно записать три слагаемых второго множителя.
Нужно проверить, является ли 8 кубом числа. Поскольку 8 = 2³, выражение можно переписать как сумму кубов x³ + 2³. Значит, применяем формулу суммы кубов.
Ответ: (x + 2)(x² − 2x + 4).
Число 27 является кубом числа 3, поэтому 27a³ = (3a)³. Получаем разность кубов (3a)³ − b³. Основаниями будут 3a и b, а не 27a и b.
Ответ: (3a − b)(9a² + 3ab + b²).
Оба коэффициента являются кубами: 8x³ = (2x)³, а 125y³ = (5y)³. Поэтому перед нами сумма кубов с основаниями 2x и 5y. Во втором множителе средний член должен иметь знак минус.
Ответ: (2x + 5y)(4x² − 10xy + 25y²).
Знак среднего члена иногда оставляют таким же, как знак между кубами. Это неверно: для суммы нужен минус, а для разности — плюс. Проверьте себя раскрытием скобок: смешанные слагаемые должны уничтожиться.
Некоторые записывают второй множитель как разность квадратов или забывают член ab. Так происходит из-за сходства с другими формулами сокращённого умножения. Убедитесь, что в нём есть a², произведение ab и b².
Ошибка возникает и при извлечении кубического корня из коэффициента: 8x³ = (2x)³, а не (8x)³. Причина в том, что при возведении 8x в куб коэффициент стал бы равен 512. Возведите найденное основание в куб и сравните с исходным слагаемым.
Нельзя применять формулу к любым двум слагаемым подряд. Сначала проверьте, можно ли каждое из них представить точным кубом. Если хотя бы одно слагаемое не имеет подходящего кубического основания, формула суммы или разности кубов здесь не подходит.
До изучения темы нужно уметь возводить одночлены в куб и находить кубический корень из числового коэффициента. Эти навыки помогают быстро увидеть, что 27a³ = (3a)³, а 125y³ = (5y)³. Без них трудно правильно определить основания кубов.
Формулы суммы и разности кубов связаны с формулами сокращённого умножения и раскрытием скобок. Раскрытие скобок служит способом доказать формулу и проверить готовое разложение. Поэтому при решении важно уверенно выполнять умножение многочленов.
Разложение на множители используют при упрощении выражений, решении уравнений и дальнейшем разложении многочленов. Оно заменяет громоздкое выражение произведением более простых множителей. Это часто позволяет вынести общий множитель или применить другой известный приём.
Как понять, что выражение является суммой или разностью кубов?
Проверьте, состоит ли выражение из двух слагаемых и можно ли каждое представить как куб некоторого выражения. Например, 8x³ + 125y³ = (2x)³ + (5y)³.
Почему в формуле суммы кубов во втором множителе стоит знак минус?
При раскрытии скобок этот знак обеспечивает уничтожение смешанных слагаемых. В произведении (a + b)(a² − ab + b²) пары −a²b и +a²b, а также +ab² и −ab² сокращаются.
Как разложить на множители выражение с числовыми коэффициентами?
Сначала представьте числовые коэффициенты как кубы и найдите основания. Например, 27a³ − b³ = (3a)³ − b³, после чего примените формулу разности кубов.
Можно ли применять формулу, если основания кубов — алгебраические выражения?
Да, можно. В роли a и b могут выступать одночлены или другие выражения, например 2x и 5y.
Как проверить, что разложение на множители выполнено верно?
Раскройте скобки полученного произведения и приведите подобные слагаемые. Если остались исходные два куба, разложение выполнено правильно.
4.3.4. Сумма и разность кубов
