"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Разложить многочлен на множители — значит заменить сумму или разность произведением. Это обратное действие раскрытию скобок: значение выражения при этом не меняется. Разложение помогает упростить вычисления и преобразования, а также решать уравнения и сокращать алгебраические дроби. Сначала обычно ищут общий множитель, затем проверяют, можно ли сгруппировать слагаемые или применить формулу сокращённого умножения.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Разложение многочлена на множители — представление многочлена в виде произведения нескольких многочленов. Например, 2x + 6 можно записать как 2(x + 3). Такое представление помогает увидеть, из каких частей состоит выражение, и выполнять с ним дальнейшие преобразования.
Общий множитель — множитель, который входит в каждый член многочлена и выносится за скобки. Например, в выражении 6x² − 9x общими являются число 3 и буква x, поэтому можно вынести 3x. Этот приём сокращает число слагаемых и часто становится первым шагом разложения.
Группировка — способ разложения, при котором члены многочлена объединяют в группы и в каждой группе выделяют общий множитель. Например, четыре слагаемых можно разбить на две пары и вынести множители отдельно. Способ нужен, когда общего множителя у всего выражения нет, но он появляется внутри удачно выбранных групп.
Тождество сокращённого умножения — равенство, которое позволяет заменить многочлен произведением, например разность квадратов: a² − b² = (a − b)(a + b). Тождество сохраняет значение выражения при любом допустимом выборе букв. Оно помогает быстро разложить многочлен, если его части точно подходят под известную формулу.
Раскрыть скобки — значит умножить каждый член внутри скобок на множитель перед ними, а разложить на множители — выполнить это действие в обратном направлении. Например, 4(x + 2) при раскрытии скобок превращается в 4x + 8, поэтому 4x + 8 можно представить как 4(x + 2). Значение не меняется: запись лишь становится другой. Проверка раскрытием скобок позволяет убедиться, что разложение верно.
Чтобы вынести общий множитель, сначала сравнивают все члены многочлена. У чисел ищут наибольший общий делитель, а у букв выбирают те, которые есть в каждом члене, с наименьшими степенями. Затем каждый член делят на найденный множитель и записывают результаты в скобках. Например, 6x² − 9x = 3x(2x − 3), потому что 6x² : 3x = 2x, а −9x : 3x = −3.
При группировке важно не просто разделить слагаемые на пары, а добиться одинакового множителя в скобках. Сначала объединяют члены, у которых можно вынести общий множитель, а затем сравнивают оставшиеся скобки. Если они совпадают, этот общий двучлен тоже выносят за скобки. Если совпадения нет, выбранные группы не помогают и стоит попробовать иной порядок.
Для применения тождества сокращённого умножения сравнивают выражение с известным видом формулы. Например, a² − b² — это разность квадратов, поэтому она равна (a − b)(a + b). Выражение должно совпадать с левой частью формулы: a² + b² не является разностью квадратов, и эту формулу к нему применить нельзя. Проверяй также, что оба слагаемых действительно являются квадратами.
Несколько приёмов можно использовать один за другим, потому что после первого преобразования может появиться выражение, подходящее для другого способа. Например, сначала выносят общий множитель, а затем рассматривают многочлен в скобках. Или группируют слагаемые, получают общий двучлен и продолжают разложение, если это возможно. После каждого шага снова ищут общий множитель и подходящие тождества.
| Способ | Когда применять | Основной приём | Проверка |
|---|---|---|---|
| Вынесение общего множителя | Одинаковый множитель есть во всех членах | Найти общий числовой и буквенный множитель, разделить на него каждый член | Раскрыть скобки и сравнить с исходным многочленом |
| Группировка | Общего множителя у всего многочлена нет, но его можно выделить в группах | Объединить члены так, чтобы в скобках появился одинаковый многочлен | Проверить, что после вынесения остался общий двучлен |
| Применение тождеств сокращённого умножения | Многочлен точно соответствует левой части известной формулы | Распознать вид формулы и записать произведение | Раскрыть произведение и сверить все члены и знаки |
| Сочетание нескольких способов | После одного приёма в выражении остаётся многочлен, который можно разложить дальше | Последовательно применить подходящие способы | Раскрыть скобки во всём произведении |
Пользуйся таблицей как планом поиска: сначала проверь, есть ли общий множитель, затем оцени возможность группировки или применения формулы. Если один способ дал промежуточный результат, рассмотри скобки ещё раз. В конце раскрой скобки, чтобы проверить ответ.
Оба члена содержат x, а коэффициенты 6 и 9 делятся на 3. Значит, удобно вынести 3x — общий множитель с наибольшим возможным числовым коэффициентом. В скобках останутся результаты деления каждого члена на 3x. Так мы не меняем значение исходного выражения, а только записываем его произведением.
Ответ: 3x(2x − 3). Важно было разделить на общий множитель оба члена, включая член со знаком минус. Раскрытие скобок возвращает исходное выражение, значит, преобразование выполнено верно.
У всех четырёх слагаемых нет одного очевидного общего множителя, поэтому попробуем сгруппировать их попарно. У первых двух слагаемых общая буква a, а у последних двух — b. После вынесения этих множителей в обеих группах получится одинаковая скобка x + y. Именно совпадение скобок позволит вынести её ещё раз.
Ответ: (a + b)(x + y). Если бы после первого шага в скобках получились разные выражения, вынести общий двучлен не удалось бы. Поэтому при группировке важно заранее искать такое расположение слагаемых, которое приводит к одинаковым скобкам.
Сначала посмотрим, есть ли общий числовой множитель: оба коэффициента делятся на 3. После его вынесения в скобках останется x² − 4, а это разность квадратов: x² = x · x и 4 = 2². Значит, здесь нужно применить формулу u² − v² = (u − v)(u + v), подставив u = x и v = 2.
Ответ: 3(x − 2)(x + 2). Одного вынесения числа 3 недостаточно: оставшаяся скобка тоже раскладывается. Здесь последовательно применены два способа, а проверка подтверждает оба шага.
При вынесении общего множителя можно разделить на него не каждый член или неверно записать частное. Такая ошибка возникает, когда ученик проверяет только первый член, а остальные переносит в скобки без вычисления. Раздели каждый член отдельно и раскрой результат: он должен в точности совпасть с исходным многочленом.
Если вынести отрицательный множитель, знаки всех членов в скобках изменятся. Иногда минус учитывают только у первого члена или вовсе забывают о нём. Например, −a − b = −(a + b), а не −(a − b). Для проверки умножь содержимое скобок на вынесенный минус и сравни знаки с исходной записью.
При группировке можно соединить слагаемые так, что после вынесения множителей в скобках не появится общего многочлена. Обычно так происходит, если выбирать группы наугад и не проверять результат. После каждого вынесения сравни скобки: они должны совпадать, чтобы общий двучлен можно было вынести. Если совпадения нет, попробуй перегруппировать слагаемые.
Формулу разности квадратов иногда применяют к сумме квадратов или к выражению, где одно из слагаемых не является квадратом. Ошибка появляется из-за сходства записи с известной формулой. Сверь выражение с точным видом u² − v²: нужен именно знак минус и квадраты обоих выражений. В сомнительном случае раскрой предполагаемое произведение и проверь его.
Для разложения на множители пригодятся умения раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые и находить числовой и буквенный общий множитель. Без этих действий трудно правильно выполнить преобразование и проверить полученный результат. Особенно полезно уверенно делить каждый член многочлена на вынесенный множитель.
Разложение помогает решать уравнения: если произведение равно нулю, можно рассмотреть, когда нулю равен каждый множитель. Оно также используется при сокращении алгебраических дробей, когда числитель и знаменатель представлены произведениями. Ещё с его помощью удобно преобразовывать выражения и замечать их общую структуру.
Как понять, что многочлен уже разложен на множители?
Он записан как произведение двух или нескольких выражений, например 3x(x − 2). Если один из множителей ещё можно разложить, преобразование можно продолжить. Обычно останавливаются, когда выбранным способом больше нельзя получить более простые множители.
Как выбрать общий множитель для вынесения за скобки?
Найди наибольшее число, на которое делятся коэффициенты всех членов, и общие буквенные множители с наименьшими степенями. Например, у 6x² и 9x общий множитель 3x. После вынесения проверь делением, что в скобках записан результат для каждого члена.
Как подобрать группы слагаемых при группировке?
Попробуй объединить слагаемые так, чтобы в каждой группе нашёлся общий множитель. После его вынесения в скобках должен появиться один и тот же многочлен. Если этого не получается, проверь другой порядок группировки.
Можно ли применять несколько способов разложения подряд?
Да, это часто необходимо. Например, сначала вынеси общий числовой множитель, а затем разложи оставшуюся разность квадратов. После каждого шага проверяй, нельзя ли разложить полученные множители дальше.
Как проверить, правильно ли выполнено разложение?
Раскрой скобки в полученном произведении и приведи подобные слагаемые. Если вышел исходный многочлен, разложение верно. Также проверь, что при вынесении множителя ни один член и его знак не потерялись.
§ 4. Разложение многочленов на множители
