"Алгебра (в 3 частях)", Петерсон Л.Г., Абраров Д.Л., Чуткова Е.В.
Квадрат суммы и квадрат разности — это выражения, в которых двучлен возводится в степень 2. С помощью формул (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a − b)² = a² − 2ab + b² можно быстро раскрывать скобки, упрощать многочлены и проверять, является ли многочлен квадратом двучлена. Главное — не забывать удвоенное произведение слагаемых и правильно определять знак среднего члена.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — это выражение вида (a + b)². В квадрат возводится вся сумма, а не только первое слагаемое: (a + b)² означает (a + b) · (a + b). Такое обозначение нужно, чтобы применять специальную формулу и не выполнять длинное умножение каждый раз.
Квадрат разности — выражение вида (a − b)². Здесь показатель 2 относится ко всей разности в скобках: (a − b) · (a − b). Это помогает преобразовать выражение к виду многочлена и правильно расставить знаки.
Формула квадрата суммы имеет вид: (a + b)² = a² + 2ab + b². В правой части записаны квадрат первого слагаемого, удвоенное произведение слагаемых и квадрат второго слагаемого. По этой записи можно быстро раскрыть скобки.
Формула квадрата разности такова: (a − b)² = a² − 2ab + b². Квадраты крайних слагаемых остаются положительными, а знак среднего члена становится отрицательным. Формула позволяет не ошибиться при работе с минусом внутри скобок.
Чтобы получить формулу квадрата суммы, представим квадрат как умножение двучлена на себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). По распределительному закону перемножаем каждое слагаемое первой скобки с каждым слагаемым второй: a² + ab + ba + b². Произведения ab и ba одинаковы, поэтому их можно заменить суммой 2ab. Получаем (a + b)² = a² + 2ab + b².
Квадрат разности выводится тем же способом: (a − b)² = (a − b)(a − b). После умножения получаем a² − ab − ba + b², потому что произведения с разными знаками отрицательны. Средние слагаемые объединяются в −2ab. Последний член положителен: (−b)(−b) = b², так как произведение двух отрицательных чисел положительно.
В обеих формулах средний член — удвоенное произведение слагаемых. Это происходит не случайно: при раскрытии скобок одно произведение появляется дважды, как ab и ba. Последний член — квадрат второго слагаемого, поэтому он имеет вид b² и в обеих формулах записывается со знаком плюс. Крайний первый член также является квадратом первого слагаемого.
Для числовых и буквенных выражений правило одинаково: нужно определить a и b, возвести каждое из них в квадрат и найти 2ab с нужным знаком. Если слагаемым является произведение, например 2a, его возводят в квадрат целиком: (2a)² = 4a². Формулы действуют и тогда, когда вместо a или b стоит одночлен либо многочлен. Их используют не только для раскрытия скобок, но и в обратную сторону: по трём членам многочлена можно распознать квадрат двучлена.
| Выражение | Равносильная запись | Средний член |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | +2ab |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | −2ab |
Пользуйтесь таблицей как схемой из трёх частей: квадрат первого слагаемого, средний член и квадрат второго слагаемого. Сначала определите знак между слагаемыми в скобках, затем найдите удвоенное произведение. В конце проверьте, что оба крайних члена являются квадратами.
Задача 1. Раскройте скобки: (x + 3)². Здесь первым слагаемым является x, а вторым — число 3, поэтому подходит формула квадрата суммы.
Ответ: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Средний член положительный, потому что в скобках стоит знак плюс.
Задача 2. Раскройте скобки: (2a − 5b)². Это квадрат разности, где слагаемые равны 2a и 5b; знак минус нужно сохранить только у среднего члена.
Ответ: (2a − 5b)² = 4a² − 20ab + 25b². Квадрат второго слагаемого положителен, хотя само слагаемое участвует в разности.
Задача 3. Представьте выражение 9x² − 12xy + 4y² в виде квадрата двучлена. Сначала ищем выражения, квадраты которых дают крайние члены, а затем проверяем средний член.
Ответ: 9x² − 12xy + 4y² = (3x − 2y)². Проверка по формуле квадрата разности полностью совпадает с исходным многочленом.
Ошибка 1: записывают (a + b)² = a² + b² и забывают средний член. Так происходит, если показатель 2 ошибочно применяют отдельно к каждому слагаемому. Проверяйте себя раскрытием скобок: два произведения ab обязательно дадут 2ab.
Ошибка 2: в формуле квадрата разности делают последний член отрицательным. Причина — минус в скобках переносят на квадрат второго слагаемого. Помните, что (−b)² = b², поэтому последний член всегда положителен.
Ошибка 3: средний член записывают как ab вместо 2ab или как −ab вместо −2ab. Один и тот же результат появляется дважды при перемножении скобок. Для проверки умножьте первый член на второй двумя способами и сложите получившиеся произведения.
Ошибка 4: возводят в квадрат только первое слагаемое, например заменяют (x + 3)² на x² + 3. Показатель 2 относится ко всему двучлену внутри скобок. Нужно проверить наличие трёх частей: квадрата первого слагаемого, удвоенного произведения и квадрата второго.
До изучения формул нужно уметь раскрывать скобки по распределительному закону, умножать одночлены и приводить подобные слагаемые. Именно эти действия объясняют происхождение каждого члена в формулах.
Формулы применяются при преобразовании и упрощении многочленов, а также при разложении многочлена на множители. Умение узнавать квадрат двучлена помогает выполнять обратное преобразование быстрее.
Почему в квадрате суммы появляется слагаемое 2ab?
При умножении (a + b) на себя появляются два одинаковых произведения: ab и ba. Их сумма равна 2ab, поэтому этот член входит в формулу.
Почему в квадрате разности последний член положительный?
Последний член получается при умножении второго слагаемого на себя: (−b) · (−b) = b². Произведение двух отрицательных чисел положительно.
Как не перепутать знак среднего члена?
Посмотрите на знак между слагаемыми в скобках. При сумме средний член положительный, а при разности — отрицательный: соответственно +2ab и −2ab.
Можно ли применять формулы, если вместо a и b стоят многочлены?
Да, буквами a и b могут быть числа, одночлены и многочлены. Сначала нужно подставить выражения в формулу, а затем при необходимости выполнить дальнейшие преобразования.
Как проверить, что многочлен является квадратом двучлена?
Крайние слагаемые должны быть квадратами некоторых выражений, а средний член — их удвоенным произведением. Знак среднего члена подсказывает, будет ли это квадрат суммы или квадрат разности.
4.3.1. Квадрат суммы и разности
