§ 3. Формулы сокращенного умножения

Определения и обозначения

Формула сокращённого умножения — это тождество, позволяющее заменить произведение или степень более коротким выражением и наоборот. Тождество верно при всех допустимых значениях входящих в него букв. Такие формулы ускоряют вычисления и помогают упрощать многочлены.

Квадрат суммы — тождество (a + b)² = a² + 2ab + b². Оно связывает квадрат двучлена с квадратом первой части, удвоенным произведением частей и квадратом второй части. Формула нужна, чтобы раскрывать скобки без повторного длинного умножения.

Квадрат разности — тождество (a − b)² = a² − 2ab + b². Средний член имеет знак минус, потому что в двух смешанных произведениях участвует отрицательная часть. Последний член остаётся положительным, так как квадрат отрицательного выражения неотрицателен.

Разность квадратов — тождество a² − b² = (a − b)(a + b). Произведения (a − b) и (a + b) называют сопряжёнными двучленами: их части одинаковы, но знаки между ними разные. Формула позволяет быстро разложить выражение на множители.

Как это устроено

Чтобы вывести квадрат суммы, представим его как умножение двучлена на самого себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). По распределительному закону получаем a² + ab + ba + b². Подобные слагаемые ab и ba складываются, поэтому результатом становится a² + 2ab + b².

В квадрате разности действует тот же порядок: (a − b)(a − b) = a² − ab − ba + b². Два смешанных произведения имеют отрицательные знаки и дают −2ab. Последний член возникает из произведения (−b)(−b), поэтому он равен +b², а не −b².

Разность квадратов выводится обратным умножением: (a − b)(a + b) = a² + ab − ba − b². Смешанные слагаемые ab и −ba противоположны и взаимно уничтожаются. Остаются только a² − b², поэтому произведение сопряжённых двучленов равно разности квадратов.

Формулу можно распознавать слева направо и справа налево. Если видим квадрат двучлена, раскрываем скобки; если видим многочлен, похожий на правую часть, собираем его в квадрат или произведение. Буквами a и b могут быть целые выражения, например 3x и 2y, потому что вывод основан только на свойствах умножения.

Формулы сокращённого умножения

Сначала определите, какая часть выражения играет роль a, а какая — роль b. Затем проверьте знаки и наличие коэффициента 2 в среднем члене. Направление преобразования выбирайте по цели задачи: раскрыть скобки или разложить выражение на множители.

Разбор задач

Задача 1. Раскрыть скобки: (x + 4)². Здесь дан квадрат суммы, где a = x, а b = 4. Поэтому достаточно подставить эти выражения в готовую формулу и вычислить отдельные части.

1. Применяем формулу квадрата суммы: (x + 4)² = x² + 2·x·4 + 4².
2. Умножаем и возводим число в квадрат: 2·x·4 = 8x, 4² = 16.
3. Получаем x² + 8x + 16.

Ответ: x² + 8x + 16.

Задача 2. Упростить выражение: (3a − 2)² + (3a − 2)(3a + 2). В первой части находится квадрат разности, а во второй — произведение сопряжённых двучленов. Удобно применить разные формулы, а затем сложить результаты.

1. (3a − 2)² = (3a)² − 2·3a·2 + 2² = 9a² − 12a + 4.
2. (3a − 2)(3a + 2) = (3a)² − 2² = 9a² − 4.
3. Складываем: 9a² − 12a + 4 + 9a² − 4 = 18a² − 12a.

Ответ: 18a² − 12a.

Задача 3. Разложить на множители: 9x² − 24xy + 16y² − 25z². Первые три слагаемых похожи на квадрат разности: 9x² = (3x)², 16y² = (4y)², а средний член равен −2·3x·4y. После этого всё выражение превращается в разность квадратов.

1. Собираем первые три слагаемых: 9x² − 24xy + 16y² = (3x − 4y)².
2. Последний член представляем как квадрат: 25z² = (5z)².
3. Получаем (3x − 4y)² − (5z)².
4. Применяем разность квадратов: (3x − 4y − 5z)(3x − 4y + 5z).

Ответ: (3x − 4y − 5z)(3x − 4y + 5z).

Типичные ошибки

Ошибка: записать (a + b)² = a² + b². Её допускают, если считают, что квадрат можно распределить по сложению как умножение на одно число. Проверьте себя раскрытием скобок: два смешанных произведения ab обязательно дадут 2ab.

Ошибка: написать (a − b)² = a² − 2ab − b². Причина — перенос знака минус на последний член без учёта умножения двух отрицательных множителей. Подставьте простые числа и вспомните: (−b)² = b².

Ошибка: заменить a² − b² на (a − b)². Эти выражения различаются: в квадрате разности есть средний член −2ab, а в разности квадратов его нет. Раскройте предполагаемые скобки и сравните получившиеся слагаемые.

Ошибка: забыть коэффициент 2 или неверно перемножить части в среднем члене. Обычно сначала находят произведение a и b, а затем умножают его на 2: 2·a·b. Полезная проверка — сравнить средний член с произведением крайних частей, взятых с нужными знаками.

Связь с другими темами

До изучения формул нужно уметь раскрывать скобки по распределительному закону и приводить подобные слагаемые. Именно эти действия используются при выводе квадратов суммы и разности.

Также пригодятся умножение одночлена на многочлен, правила действий со степенями и свойства противоположных чисел. Они помогают правильно считать квадраты и знаки произведений.

Формулы применяются при тождественных преобразованиях, разложении многочленов на множители и упрощении дробных выражений. Чем лучше распознаётся структура выражения, тем короче решение.

Что запомнить

• (a + b)² = a² + 2ab + b².
• (a − b)² = a² − 2ab + b².
• a² − b² = (a − b)(a + b).
• Средний член квадрата двучлена — удвоенное произведение его частей.
• Квадрат отрицательного выражения неотрицателен.
• Формулу можно применять и в обратном направлении.