"Алгебра", Мордкович А.Г.
Формулы сокращённого умножения — короткие записи равенств, которые помогают быстрее раскрывать скобки и раскладывать многочлены на множители. Главные формулы темы: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Они работают и с числами, и с буквенными выражениями. Чтобы выбрать формулу, сравните выражение с её образцом: проверьте квадраты крайних членов и средний член, а для разности квадратов — наличие вычитания.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы сокращённого умножения — это тождества, которые позволяют быстро раскрывать скобки или преобразовывать выражения. Тождество — равенство, верное при любых значениях входящих в него букв. Такие формулы нужны, чтобы не выполнять каждый раз длинное умножение многочленов и чтобы узнавать знакомую структуру в выражениях.
Квадрат суммы — тождество, по которому квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого, плюс удвоенное произведение выражений, плюс квадрат второго: (a + b)² = a² + 2ab + b². Оно помогает раскрывать скобки в выражениях с плюсом и проверять, может ли трёхчлен быть квадратом суммы. Буквы a и b могут обозначать числа или другие выражения.
Квадрат разности — тождество, по которому квадрат разности двух выражений равен квадрату первого, минус удвоенное произведение выражений, плюс квадрат второго: (a − b)² = a² − 2ab + b². Формула нужна, когда внутри скобок стоит вычитание, а также при распознавании трёхчлена с отрицательным средним членом. Последний член здесь положительный.
Разность квадратов — тождество, по которому произведение суммы и разности двух выражений равно разности их квадратов: (a − b)(a + b) = a² − b². Оно позволяет заменить произведение суммой квадратов с вычитанием или, наоборот, разложить разность квадратов на множители. Важно, чтобы между квадратами в исходном выражении стоял знак минус.
Чтобы вывести формулу квадрата суммы, запишем квадрат как умножение суммы на саму себя: (a + b)² = (a + b)(a + b). Раскроем скобки: a² + ab + ab + b². Средние слагаемые одинаковы, поэтому их можно сложить: ab + ab = 2ab. Получаем a² + 2ab + b², а значит, формула экономит несколько шагов раскрытия скобок.
Квадрат разности тоже означает умножение выражения на себя: (a − b)(a − b). При раскрытии скобок выходит a² − ab − ab + b². Оба средних слагаемых отрицательны, потому что в каждом произведении участвует −b, и вместе они дают −2ab. Последний член положителен: произведение (−b)(−b) равно b², ведь произведение двух отрицательных чисел положительно.
Формулу разности квадратов получим, раскрыв скобки в произведении (a − b)(a + b). Результат — a² + ab − ab − b². Средние слагаемые взаимно уничтожаются: ab − ab = 0, поэтому остаётся a² − b². Именно исчезновение одинаковых слагаемых объясняет, почему в формуле нет члена с произведением a и b.
Формулы применяют не только к буквам, но и к числам или целым выражениям. Например, в (x + 4)² роль a играет x, а роль b — число 4; в (2x − 3y)² нужно считать частями формулы выражения 2x и 3y. Подстановка сохраняет структуру равенства, потому что формула верна для любых значений a и b. Если части сложные, временно заключайте их в скобки, чтобы не потерять знак или порядок действий.
Распознавать формулы можно и в обратном направлении. В трёхчлене сначала ищут квадраты первого и последнего членов, затем проверяют, равен ли средний член удвоенному произведению их корней; знак среднего члена различает квадрат суммы и квадрат разности. Например, при корнях 3a и 2b средний член должен быть либо 12ab, либо −12ab. В выражении вида a² − b² находят корни квадратов и записывают произведение (a − b)(a + b).
| Название | Формула | Что распознавать |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | Квадрат суммы и трёхчлен с положительным средним членом |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | Квадрат разности и трёхчлен с отрицательным средним членом |
| Разность квадратов | (a − b)(a + b) = a² − b² | Произведение суммы и разности; разность квадратов |
Сначала определите, с какой структурой вы имеете дело: квадрат двучлена или разность квадратов. Затем сверяйте знаки и средний член с нужной строкой таблицы. Если формула подходит, подставьте вместо a и b соответствующие части выражения.
Задача 1. Раскройте скобки: (x + 4)². Здесь стоит квадрат суммы, поэтому используем формулу (a + b)² = a² + 2ab + b². Частями суммы являются x и 4; особенно внимательно нужно посчитать удвоенное произведение. После подстановки упрощаем каждое слагаемое.
Ответ: x² + 8x + 16. Проверка: при раскрытии скобок напрямую два средних произведения равны 4x и 4x, вместе это 8x.
Задача 2. Представьте выражение 9a² − 12ab + 4b² в виде квадрата двучлена. Крайние члены похожи на квадраты: 9a² = (3a)² и 4b² = (2b)². Значит, если это квадрат двучлена, его части — 3a и 2b. Проверим средний член: для квадрата разности он должен быть −2 · 3a · 2b = −12ab, что совпадает с данным выражением.
Ответ: (3a − 2b)². Если раскрыть полученный квадрат по формуле, исходный отрицательный средний член восстановится.
Задача 3. Разложите на множители выражение 25x² − 16y². В выражении вычитаются два квадрата: 25x² = (5x)², а 16y² = (4y)². Поэтому подходит формула a² − b² = (a − b)(a + b). Здесь важно сохранить оба множителя: один содержит разность корней, второй — их сумму.
Ответ: (5x − 4y)(5x + 4y). Проверка раскрытием скобок покажет, что средние произведения сокращаются, а остаётся 25x² − 16y².
Ошибка: записывать (a + b)² = a² + b² и забывать средний член. Так делают, неверно распространяя возведение в квадрат на каждое слагаемое отдельно, хотя квадрат суммы означает умножение всей суммы на себя. Раскройте скобки как (a + b)(a + b): два произведения ab покажут, что нужно добавить 2ab.
Ошибка: считать последний член квадрата разности отрицательным. Знак минус относится к b внутри скобок, а при умножении на себя получается (−b)(−b) = b². Проверьте формулу раскрытием скобок: последний член должен быть положительным и у квадрата суммы, и у квадрата разности.
Ошибка: заменять 2ab на ab в формулах квадрата суммы или разности. Это происходит, если учесть только одно из двух одинаковых средних произведений при раскрытии скобок. Для проверки умножьте каждое слагаемое первой скобки на каждое слагаемое второй: произведение ab появится дважды.
Ошибка: применять формулу разности квадратов к сумме квадратов. Сходство двух квадратов может сбить с толку, но формула требует выражения a² − b², а не a² + b². Перед разложением проверьте знак между квадратами; если там плюс, эта формула не подходит.
Для работы с формулами нужны навыки раскрытия скобок, умножения многочленов и приведения подобных слагаемых. Именно эти действия помогают понять, откуда берутся тождества и проверить результат обратным раскрытием скобок. Формулы затем используют при преобразовании выражений, разложении многочленов на множители и упрощении вычислений. Они помогают заменить длинные действия коротким распознаванием знакомой структуры.
Почему в квадрате суммы появляется слагаемое 2ab?
Квадрат суммы — это произведение (a + b)(a + b). При раскрытии скобок получаются два одинаковых произведения ab: одно из первого умножения, другое из второго. Вместе они дают 2ab.
Почему при возведении разности в квадрат последний член положительный?
В формуле (a − b)² последний член получается при умножении −b на −b. Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому (−b)² = b².
Как понять, что трёхчлен является квадратом двучлена?
Проверьте, являются ли первый и последний члены квадратами: например, 9a² = (3a)², а 4b² = (2b)². Затем сравните средний член с удвоенным произведением корней: его знак подскажет, квадрат суммы это или разности.
Как отличить разность квадратов от суммы квадратов?
Разность квадратов имеет вид a² − b²: между квадратами стоит знак минус. Только такую разность можно сразу разложить по формуле a² − b² = (a − b)(a + b). Сумма квадратов a² + b² этой формулой не раскладывается.
Можно ли применять формулы, если вместо a и b стоят выражения?
Да, буквы a и b могут обозначать целые выражения, например 2x и 3y − 1. Нужно подставить их в формулу целиком, сохраняя скобки, а затем при необходимости упростить результат.
§ 28. Формулы сокращенного умножения
