"Алгебра", Рубин А.Г., Чулков П.В.
Куб суммы и куб разности — это выражения (a + b)³ и (a − b)³, которые можно раскрыть в многочлены из четырёх слагаемых. Такие формулы помогают быстрее возводить в куб выражения с переменными и числами, не перемножая три скобки вручную. Главное — помнить коэффициенты 3 у средних слагаемых и следить за знаками: в кубе суммы они положительные, а в кубе разности чередуются.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Куб суммы — выражение (a + b)³; раскрыть его означает представить в виде суммы одночленов. Одночлен — это произведение чисел и переменных, например 3a²b. Куб суммы нужен, когда требуется упростить выражение или выполнить вычисления без перемножения трёх скобок. Буквы a и b могут обозначать числа или другие выражения.
Куб разности — выражение (a − b)³. При раскрытии скобок нужно учитывать, что второе слагаемое вычитается, поэтому в результате некоторые члены будут отрицательными. Эта запись помогает коротко обозначить произведение (a − b)(a − b)(a − b). Она нужна, чтобы не потерять знаки при преобразовании.
Формула куба суммы: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Она показывает, во что превращается куб суммы после раскрытия скобок. В результате четыре слагаемых, а коэффициенты двух средних равны 3. Формулу применяют, подставляя вместо a и b нужные выражения.
Формула куба разности: (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. По ней видно, что знаки идут по очереди: плюс, минус, плюс, минус. Такая запись нужна, чтобы надёжно раскрывать куб разности, не вычисляя произведение трёх скобок каждый раз. Слагаемое с b² остаётся положительным.
Чтобы получить формулу куба суммы, запишем куб как произведение: (a + b)(a + b)(a + b). Сначала перемножим первые две скобки и получим a² + 2ab + b², затем умножим результат на третью скобку. При распределении каждого слагаемого получатся a³, a²b, ab² и b³. После приведения подобных слагаемых выйдет формула куба суммы.
Коэффициенты 3 появляются потому, что одинаковые произведения возникают в нескольких местах. Например, член a²b можно получить, выбрав b из первой, второй или третьей скобки, а a — из двух оставшихся. Всего таких вариантов три, поэтому получается 3a²b. Для ab² рассуждение такое же: выбрать единственный a тоже можно тремя способами, значит, выходит 3ab².
Для куба разности используем произведение (a − b)(a − b)(a − b). Здесь каждый выбранный множитель −b приносит один минус, а множители a знака не меняют. Если b встречается один или три раза, число минусов нечётное и произведение отрицательно. Если b встречается два раза, минусов два, они дают плюс; так возникает положительное слагаемое 3ab².
Проверить раскрытие можно подстановкой простых чисел вместо букв. Например, возьмём a = 2 и b = 1: отдельно вычислим исходную скобку в кубе и выражение после раскрытия. Если значения совпали, это хороший признак того, что вычисления верны. Такая проверка помогает заметить ошибку в знаке или коэффициенте, хотя сама по себе не заменяет правильного вывода формулы.
Формулы позволяют быстро возводить в куб и выражения с переменными, и числа. Нужно определить, что играет роль a и b, подставить эти выражения в нужную формулу и возвести каждый множитель в указанную степень. Например, если вместо a стоит 2x, куб этого множителя будет (2x)³ = 8x³. Затем аккуратно перемножают коэффициенты и степени переменных.
| Выражение | Формула раскрытия скобок | Знаки слагаемых |
|---|---|---|
| (a + b)³ | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | Все слагаемые положительные |
| (a − b)³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | Знаки чередуются: плюс, минус, плюс, минус |
Сначала определите, перед вами сумма или разность, затем выберите соответствующую строку таблицы. Подставляя значения букв, возводите в степень всё выражение, которое заняло место буквы. Перед вычислением полезно ещё раз проверить порядок знаков.
Задача 1. Раскройте скобки: (x + 2)³. Здесь первое слагаемое — x, второе — 2, поэтому подходит формула куба суммы. Подстановка сохраняет порядок слагаемых, а степень относится к каждому множителю отдельно. После этого остаётся вычислить числовые коэффициенты.
Задача 2. Раскройте скобки и упростите: (2a − 3b)³. Это куб разности, поэтому используем формулу со знаками плюс, минус, плюс, минус. На место a подставляем целое слагаемое 2a, а на место b — 3b. Важно возводить в степень и числовые коэффициенты, и переменные.
Задача 3. Вычислите 101³, представив число как сумму удобных слагаемых. Число 101 близко к 100, поэтому представим его как 100 + 1. Куб суммы удобнее посчитать по формуле, чем трижды перемножать 101. После подстановки останется сложить четыре числа.
Ошибка: записать (a + b)³ = a³ + b³, пропустив два средних слагаемых. Так иногда делают, перенося на сумму правило степени произведения, но сумма устроена иначе. Проверка: подставьте a = 1 и b = 1 — слева получится 8, а справа без средних членов только 2.
Ошибка: поставить перед средними слагаемыми коэффициент 1 вместо 3. Обычно это происходит, если забыть, что одинаковые произведения получаются несколькими способами при раскрытии трёх скобок. Сверьте запись с формулой или проверьте её при простых значениях переменных. У обоих средних членов коэффициент именно 3.
Ошибка: неверно расставить знаки в кубе разности и сделать слагаемое с b² отрицательным. Путаются, потому что в скобке стоит минус, и его по ошибке переносят на каждый член. Проверьте число множителей −b: для b² их два, а два минуса дают плюс. Поэтому член 3ab² положительный.
Ошибка: возвести в куб только число или только переменную, например записать (2a)³ как 2a³. Это происходит, если считать коэффициент и букву отдельными частями, забывая о степени всего произведения. Проверка: (2a)³ = 2³ · a³ = 8a³. Возводите в степень каждый множитель внутри одночлена.
Для работы с формулами нужно уметь раскрывать скобки по распределительному свойству и возводить одночлены в степень. Формулы квадратов суммы и разности помогают сравнить устройство выражений: при возведении в третью степень появляются четыре слагаемых. Позже формулы куба пригодятся при преобразовании многочленов и разложении выражений на множители. Поэтому полезно освоить их вместе с действиями со степенями.
Почему в формулах куба появляются коэффициенты 3?
При раскрытии трёх одинаковых скобок средние произведения возникают по три раза. Например, a²b получается, если выбрать b из любой одной из трёх скобок, а a — из двух остальных.
Как запомнить формулу куба разности?
Запомните порядок степеней b: 0, 1, 2, 3, а знаки — плюс, минус, плюс, минус. Коэффициенты у двух средних слагаемых равны 3.
Почему слагаемое с b² в кубе разности положительное?
В выражении (a − b)³ слагаемое с b² содержит два множителя −b. Их произведение положительно, поэтому член 3ab² имеет знак плюс.
Можно ли возвести в куб сумму, просто возведя в куб каждое слагаемое?
Нет, обычно (a + b)³ не равно a³ + b³. При раскрытии появляются ещё два средних слагаемых: 3a²b и 3ab².
Как проверить, что формула раскрыта правильно?
Подставьте вместо переменных простые числа, например a = 2 и b = 1. Вычислите исходное выражение и полученный многочлен: значения должны совпасть.
3.3. Куб суммы и куб разности
