"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Сумма кубов — выражение вида a³ + b³, где складываются кубы двух чисел или выражений. Для него существует специальная формула разложения на множители: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Она помогает быстрее упрощать многочлены, находить значения выражений и решать уравнения. Главное — правильно увидеть кубы, определить их основания и не перепутать знаки во втором множителе.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Куб числа — произведение трёх одинаковых множителей: a³ = a · a · a. Число или выражение a называют основанием куба, а маленькая цифра 3 показывает степень. Такое обозначение позволяет кратко записывать повторное умножение и распознавать кубы в многочленах.
Сумма кубов — выражение вида a³ + b³, то есть сумма двух кубов с основаниями a и b. Основаниями могут быть не только числа, но и выражения, например x и 2 или 3m и n. Это определение нужно, чтобы увидеть подходящую формулу даже тогда, когда куб записан неочевидно.
Разложить сумму кубов на множители — значит заменить её произведением более простых выражений: a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Множители — это выражения, произведение которых даёт исходный многочлен. Разложение упрощает вычисления и помогает решать уравнения.
Формула суммы кубов основана на раскрытии скобок. Если перемножить (a + b)(a² − ab + b²), сначала получится a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³. Средние слагаемые −a²b и +a²b уничтожаются, так же как +ab² и −ab², поэтому остаются a³ + b³.
Первый множитель a + b появляется не случайно: в сумме кубов складываются основания кубов. Второй множитель содержит квадраты оснований и произведение ab, потому что именно такие слагаемые нужны для взаимного сокращения при умножении. Поэтому нельзя выбирать его по внешнему виду или менять знаки произвольно.
Чтобы применить формулу, сначала нужно представить оба слагаемых как кубы. Например, 27 = 3³, 8x³ = (2x)³, а 64y⁶ = (4y²)³. После этого основания кубов подставляют вместо a и b, сохраняя их знаки и скобки.
Если перед кубом стоит минус, его можно включить в основание: x³ + (−2)³ = x³ − 8. Такой случай всё равно является суммой кубов, хотя внешне выглядит как разность. При подстановке b = −2 формула даст (x − 2)(x² + 2x + 4), поэтому знак во втором множителе изменится автоматически.
Формулу можно применять и в обратную сторону. Если произведение имеет вид (a + b)(a² − ab + b²), его можно свернуть в a³ + b³. Это полезно при сокращении дробей и при проверке, действительно ли полученное разложение соответствует исходному выражению.
| Что распознаём | Формула | Пример записи |
|---|---|---|
| Сумма кубов | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | x³ + 8 = x³ + 2³ |
| Разность кубов | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | y³ − 27 = y³ − 3³ |
| Куб одночлена | (pq)³ = p³q³ | 8x³ = (2x)³ |
Пользуйся таблицей в два этапа: сначала определи, какие два куба входят в выражение, а затем выбери подходящую строку. Если между кубами стоит плюс, в первом множителе будет сумма оснований, а во втором — a² − ab + b². После разложения раскрой скобки, если нужно проверить ответ.
При работе с отрицательным основанием знак учитывается внутри самого основания. Например, x³ − 8 можно записать как x³ + (−2)³ и применить первую формулу. Такой приём помогает не смешивать формулы суммы и разности кубов.
Задача: разложить на множители выражение 8x³ + 125y³. Нужно понять, являются ли оба слагаемых кубами, и подобрать их основания. Здесь важно не вынести общий множитель вслепую, а сначала распознать структуру суммы кубов.
Ответ: 8x³ + 125y³ = (2x + 5y)(4x² − 10xy + 25y²). Ход решения всегда начинается с поиска оснований кубов, а не с механической подстановки случайных выражений. Если основание содержит несколько символов, его нужно брать в скобки перед возведением в квадрат или куб.
Ошибка 1. Ученик считает 8x³ кубом только числа 8 и забывает про x. Такое происходит из-за раздельного чтения коэффициента и переменной. Проверка: убедись, что 8x³ = (2x)³, ведь (2x)³ = 8x³.
Ошибка 2. В формуле записывают a² + ab + b² вместо a² − ab + b². Знаки путают, потому что в разности кубов средний знак действительно другой. Проверка: раскрой скобки и посмотри, уничтожаются ли смешанные слагаемые.
Ошибка 3. Основание составного куба не заключают в скобки: например, вместо (2x)² пишут 2x². Это меняет значение выражения, поскольку квадрат должен относиться и к числу, и к переменной. Проверка: сначала возведи в степень весь одночлен, затем сравни результат.
Ошибка 4. Формулу применяют к сумме, где одно слагаемое не является полным кубом. Причина — желание сразу использовать знакомый шаблон. Проверка: извлеки кубический корень из каждого слагаемого и убедись, что после возведения основания в куб получается исходный член.
Сумма кубов связана со степенями и одночленами: нужно уметь представлять коэффициенты и переменные как кубы. Она продолжает тему разложения многочленов на множители, потому что специальная формула превращает сумму в произведение. Также эта формула связана с тождественными преобразованиями: раскрытие скобок служит способом доказать и проверить её. В задачах на дроби разложение кубов иногда позволяет сократить общий множитель.
Как узнать, что выражение является суммой кубов?
Нужно проверить, что выражение состоит из двух слагаемых, каждое из которых можно представить как куб. Например, x³ + 27 = x³ + 3³. После этого применяется формула a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²).
Почему во втором множителе стоит знак минус?
Такой знак нужен, чтобы при раскрытии скобок средние слагаемые уничтожились. При умножении (a + b)(a² − ab + b²) остаются только a³ и b³.
Чем сумма кубов отличается от разности кубов?
Для суммы кубов используется формула a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²). Для разности кубов формула другая: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
6.5. Сумма кубов
