6.6. Разность кубов

Определения и обозначения

Куб числа — это произведение трёх одинаковых множителей: a³ = a · a · a. Например, 2³ = 2 · 2 · 2 = 8, а x³ — куб переменной x. Такое обозначение позволяет коротко записывать выражения и замечать, когда слагаемые подходят для специальной формулы.

Разность кубов — выражение вида a³ − b³, где a и b — числа или выражения. Например, x³ − 8 является разностью кубов, потому что 8 = 2³. Понятие нужно, чтобы узнать подходящий вид многочлена и разложить его на множители, не раскрывая громоздкие вычисления.

Разложить выражение на множители — значит представить его в виде произведения более простых выражений. Для разности кубов используют тождество a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Тождество — равенство, которое верно при любых значениях входящих в него букв.

Как это устроено

Формула разности кубов не случайный набор знаков: она получается раскрытием скобок. Если умножить (a − b) на (a² + ab + b²), каждое слагаемое первой скобки умножится на каждое слагаемое второй. В результате появятся a³, a²b, ab², −a²b, −ab² и −b³.

Слагаемые a²b и −a²b дают ноль, потому что это противоположные выражения. Так же сокращаются ab² и −ab², а остаются только a³ и −b³. Поэтому во второй скобке нужны именно три слагаемых со знаками плюс: при умножении на минус перед b они создают нужные противоположные слагаемые.

При распознавании разности кубов ищи куб в каждом из двух слагаемых. Кубом может быть не только число, но и выражение: 27x³ = (3x)³, а 8y⁶ = (2y²)³. Основания кубов — это выражения, которые возводят в третью степень; в этих примерах ими служат 3x и 2y².

После того как основания найдены, их нужно подставить вместо a и b во все части формулы. В первой скобке основания остаются в том же порядке, что и в исходной разности. Во второй скобке первое основание возводится в квадрат, затем записывается их произведение, а потом квадрат второго основания.

Формула разности кубов

Сначала найди основания кубов, а затем замени ими a и b в формуле. Проверяй отдельно первую скобку и каждое слагаемое второй: это помогает не пропустить квадрат или произведение. Если основания сложные, возведи найденные выражения в куб и убедись, что получились исходные слагаемые.

Разбор задач

Разложим на множители выражение 64x³ − 125. Здесь важно не принять 64 и 125 просто за числа, а проверить, являются ли они кубами, и учесть, что первое слагаемое содержит переменную. После этого применим формулу к основаниям кубов.

1. Представим слагаемые как кубы: 64x³ = (4x)³, потому что 4³ = 64 и x³ остаётся, а 125 = 5³. Значит, исходное выражение имеет вид (4x)³ − 5³. Основания кубов — 4x и 5.

2. Запишем формулу разности кубов: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). В нашем выражении вместо a нужно поставить 4x, а вместо b — 5. Порядок оснований сохраняем, так как исходно из первого куба вычитается второй.

3. Подставим основания: (4x − 5)((4x)² + 4x · 5 + 5²). Возведём в квадрат и выполним умножение: (4x)² = 16x², 4x · 5 = 20x, 5² = 25. Получаем (4x − 5)(16x² + 20x + 25).

4. Проверим ответ по устройству формулы. Во второй скобке есть квадрат первого основания, произведение оснований и квадрат второго основания, причём между ними стоят плюсы. При раскрытии скобок смешанные слагаемые сократятся, и останется 64x³ − 125.

Ответ: 64x³ − 125 = (4x − 5)(16x² + 20x + 25). Такое разложение удобно, например, если выражение входит в уравнение и его нужно представить произведением. В этом случае каждую скобку можно рассматривать отдельно, применяя правило: произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю.

Типичные ошибки

Ошибка — считать любое выражение с кубом разностью кубов. Например, x³ − 8 подходит, а x³ − 6 — нет, потому что 6 не является кубом целого числа. Так ошибаются, замечая только степень переменной; проверь отдельно оба слагаемых и найди их кубические корни.

Ошибка — менять знак во второй скобке и записывать a² − ab + b². Часто это делают по аналогии с другими формулами сокращённого умножения, но здесь такое произведение не даст нужного сокращения средних слагаемых. Проверь результат раскрытием скобок: должны остаться только a³ и −b³.

Ошибка — неверно возводить в квадрат основание или забывать произведение. Например, при основании 3x квадрат равен 9x², а не 3x²; средний член при основаниях 3x и 2 — 6x. Чтобы проверить себя, отдельно вычисли квадрат каждого основания и их произведение, а затем сравни с тремя членами второй скобки.

Связь с другими темами

Для применения формулы нужны знания о степенях: куб числа записывается как третья степень, а квадрат основания во второй скобке — как вторая. Также приходится находить кубы чисел и выражений, например 27x³ = (3x)³. Поэтому умение работать со степенями помогает быстрее распознавать разность кубов.

Разложение на множители связано с раскрытием скобок: это обратные действия. Формулу можно проверить умножением многочленов, а результат использовать при решении уравнений и упрощении выражений. Важно не смешивать разность кубов с другими формулами сокращённого умножения: у каждой свои знаки и свой вид множителей.

Что запомнить

• Разность кубов имеет вид a³ − b³.
• Формула: a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²).
• Перед подстановкой проверь, что оба слагаемых — кубы; найди их основания.
• В первой скобке сохраняй порядок исходной разности, а во второй ставь плюсы.
• Проверяй разложение раскрытием скобок: смешанные слагаемые должны сократиться.