"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Куб суммы — выражение вида (a + b)³, которое можно быстро раскрыть по формуле: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Формула помогает преобразовывать многочлены, вычислять значения выражений без длинного умножения и сворачивать четыре слагаемых обратно в куб суммы. Главное — не забыть два средних члена, коэффициент 3 и правильный порядок степеней.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Куб суммы — выражение вида (a + b)³, то есть произведение трёх одинаковых множителей (a + b). Запись показывает, что вся сумма заключена в скобки и возводится в третью степень. Это нужно отличать от a³ + b³, где в куб возведены отдельные слагаемые.
Формула куба суммы — тождество (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³. Она заменяет громоздкое умножение трёх скобок четырьмя готовыми слагаемыми. Поэтому с её помощью быстрее раскрывать скобки и выполнять вычисления.
Тождество — равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Например, формула куба суммы работает не для одного числа, а для любых чисел a и b. Такое равенство можно использовать как правило преобразования выражений.
Члены разложения куба суммы — четыре слагаемых a³, 3a²b, 3ab² и b³, которые появляются после раскрытия скобок. Первое и последнее слагаемые называют крайними, а два центральных — средними. По этим четырём членам удобно проверять, правильно ли применена формула.
Куб суммы можно представить как произведение трёх одинаковых скобок: (a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b). Такое представление следует из определения третьей степени: выражение умножается само на себя три раза. Оно превращает задачу о степени в обычное последовательное умножение многочленов.
Сначала перемножим две скобки: (a + b)(a + b) = a² + 2ab + b². Затем каждый получившийся член умножается на третью скобку. При этом из произведений возникают только четыре вида буквенных частей: a³, a²b, ab² и b³, потому что из трёх множителей можно выбрать от нуля до трёх букв b.
Член a³ получается, когда из каждой скобки берут a, а b³ — когда из каждой берут b. Произведение a²b возникает, если b выбрать только в одной из трёх скобок, а a — в двух других. Произведение ab² получается по противоположному правилу: b берут два раза, а — один раз.
Коэффициенты средних членов равны 3, поскольку каждый из них возникает тремя способами. Для a²b можно выбрать первую, вторую или третью скобку, из которой берётся b. Для ab² аналогично выбирается одна из трёх скобок для a, поэтому появляются 3a²b и 3ab².
Все знаки в формуле куба суммы являются знаками сложения, потому что в каждой исходной скобке стоит плюс. При умножении положительных слагаемых новые знаки минус не возникают. Если использовать скобку (a − b), знаки некоторых членов изменятся, и получится уже формула куба разности.
Формулу можно читать в двух направлениях. Слева направо она быстро раскрывает скобки, а справа налево позволяет узнать куб суммы по четырём слагаемым. Например, выражение a³ + 3a²b + 3ab² + b³ можно сразу заменить на (a + b)³.
| Элемент | Выражение | Что происходит при раскрытии скобок |
|---|---|---|
| Куб суммы | (a + b)³ | Записывается как (a + b)(a + b)(a + b). |
| Первый крайний член | a³ | Из всех трёх скобок выбираются множители a. |
| Первый средний член | 3a²b | Получаются два множителя a и один b; возможны три выбора. |
| Второй средний член | 3ab² | Получаются один множитель a и два b; также возможны три выбора. |
| Второй крайний член | b³ | Из всех трёх скобок выбираются множители b. |
| Полное разложение | a³ + 3a²b + 3ab² + b³ | Четыре типа произведений складываются в один многочлен. |
| Схема коэффициентов | 1, 3, 3, 1 | Крайние коэффициенты равны 1, средние — 3. |
Таблица помогает сопоставить каждый член формулы с его происхождением. При проверке начинайте с крайних кубов, затем смотрите на средние члены и их коэффициенты. Схема 1, 3, 3, 1 помогает быстро восстановить числовые множители.
Здесь первым слагаемым суммы является 2x, а вторым — 3. Подставим их в формулу, не забывая возводить в степени весь одночлен 2x. После этого упростим числовые коэффициенты.
Ответ: (2x + 3)³ = 8x³ + 36x² + 54x + 27.
Теперь в формулу нужно подставить не просто a и b, а выражения a² и 2b. Это означает, что степени и коэффициенты надо учитывать полностью. Обозначим первое слагаемое через A = a², а второе через B = 2b.
Ответ: a⁶ + 6a⁴b + 12a²b² + 8b³.
Число 101 удобно представить как 100 + 1, чтобы вычисления содержали круглые числа. Формула заменит умножение 101·101·101 четырьмя более простыми действиями. Выбираем a = 100 и b = 1.
Ответ: 101³ = 1 030 301.
Ошибка: записать (a + b)³ = a³ + b³ и забыть средние члены. Так происходит из-за неверного переноса свойства степени произведения на сумму. Проверьте себя: в правильном разложении должно быть четыре слагаемых, а не два.
Ошибка: поставить коэффициент 2 перед средними членами. Коэффициент 2 появляется при квадрате суммы, но в кубе каждый средний тип произведения возникает тремя способами. Проверьте схему коэффициентов: она должна быть 1, 3, 3, 1.
Ошибка: перепутать степени и написать 3a²b вместо 3ab² или наоборот. Степени a и b в средних членах меняются последовательно: a²b, затем ab². Проверьте, что сумма показателей степени в каждом среднем члене равна 3.
Ошибка: возвести в куб только часть одночлена, например заменить (2x)³ на 2x³. В степень нужно возводить весь множитель: (2x)³ = 2³x³ = 8x³. Перед вычислениями выделите первое и второе слагаемые суммы целиком.
До изучения формулы нужно уметь умножать многочлены, возводить одночлен в степень и приводить подобные слагаемые. Эти навыки объясняют, откуда появляются члены разложения и как их упрощать.
Формула куба суммы применяется при преобразовании многочленов, вычислении значений выражений и доказательстве тождеств. Она позволяет заменить длинные вычисления короткой последовательностью действий.
Тема подготавливает к изучению куба разности, разложения многочленов на множители и биномиальных формул. Понимание схемы коэффициентов поможет распознавать похожие закономерности в следующих темах.
Почему в формуле куба суммы появляются именно четыре слагаемых?
При умножении трёх скобок каждый множитель может дать либо a, либо b. Получаются четыре типа произведений: a³, a²b, ab² и b³. Одинаковые произведения объединяются, поэтому в итоге остаются четыре слагаемых.
Откуда берётся коэффициент 3 перед средними членами?
Произведение a²b получается, если b выбрать из любой одной из трёх скобок, а a — из двух остальных. Таких вариантов три. Аналогично тремя способами получается ab².
Можно ли считать (a + b)^3 равным a^3 + b^3?
Нет, такое равенство неверно в общем случае. При раскрытии скобок появляются ещё два средних члена: 3a²b и 3ab².
Как не перепутать формулу куба суммы с формулой куба разности?
В кубе суммы все четыре слагаемых имеют знак плюс: a³ + 3a²b + 3ab² + b³. В формуле куба разности знаки чередуются, поэтому сначала нужно определить, стоит в скобках плюс или минус.
Как использовать формулу для быстрого вычисления числа вроде 101^3?
Представьте число как сумму удобных слагаемых: 101 = 100 + 1. Затем подставьте 100 и 1 в формулу куба суммы и сложите четыре получившихся числа.
6.7. Куб суммы
