"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Куб разности — это произведение трёх одинаковых разностей: (a − b)³. Чтобы раскрыть скобки, используют формулу (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Она помогает преобразовывать буквенные выражения и быстрее считать, например заменив 99 на 100 − 1. Важно не путать куб разности с разностью кубов и следить за знаками и коэффициентами двух средних слагаемых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Куб разности — выражение вида (a − b)³, то есть произведение трёх одинаковых разностей: (a − b) · (a − b) · (a − b). Буквы a и b могут обозначать числа или другие выражения. Степень 3 показывает, что скобка повторяется три раза. Такое представление нужно, чтобы понимать, что именно скрывается за короткой записью и как раскрыть её скобки.
Формула куба разности — тождество (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Тождеством называют равенство, верное при любых допустимых значениях букв. Формула позволяет быстро заменить произведение трёх скобок суммой слагаемых. Ею удобно пользоваться, когда нужно раскрыть скобки или преобразовать выражение.
Члены разложения куба разности — четыре слагаемых: куб первого выражения, два смешанных члена и куб второго выражения. В записи формулы это a³, −3a²b, +3ab² и −b³. Смешанными называют слагаемые, в которых присутствуют оба выражения, a и b. Такое деление помогает проверить полноту разложения и не потерять средние члены.
Чтобы раскрыть (a − b)³, представим его как (a − b)(a − b)(a − b). Сначала перемножим первые две скобки: (a − b)² = a² − 2ab + b². Теперь полученный многочлен умножим на третью скобку (a − b), раскрывая её по каждому слагаемому. После приведения подобных членов получим формулу куба разности.
Четыре слагаемых возникают потому, что при умножении трёх скобок можно получить четыре вида произведений: только a, сочетание двух a и одного b, сочетание одного a и двух b, только b. Произведение a²b получается тремя способами: взять b из первой, второй или третьей скобки. Поэтому его коэффициент равен 3; так же тремя способами получается ab², и перед ним тоже стоит 3.
Знаки в формуле зависят от того, сколько раз при умножении выбирается −b. Если взять только a, знак будет плюсом; при одном −b появляется минус. При двух множителях −b минусы перемножаются и дают плюс, а при трёх снова получается минус. Поэтому итоговые знаки идут по порядку: плюс, минус, плюс, минус.
Формула является тождеством, потому что получена обычным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Эти действия сохраняют значение выражения при любых значениях a и b. Например, можно подставить вместо букв числа, и левая и правая части всё равно дадут одинаковый результат. Проверка на отдельных числах помогает заметить ошибку, но сама по себе не заменяет доказательство.
Формула работает и с буквенными выражениями, и с числами: вместо a и b подставляют нужные части скобки. Для вычисления 99³ можно записать 99 = 100 − 1, а затем использовать разложение. Такой выбор удобен, потому что степени числа 100 считать просто. После подстановки остаётся аккуратно выполнить действия с числами.
| Выражение | Раскрытие скобок | Знаки слагаемых | Основной приём применения |
|---|---|---|---|
| (a − b)³ | a³ − 3a²b + 3ab² − b³ | +, −, +, − | Подставить a и b в формулу |
| (x − y)³ | x³ − 3x²y + 3xy² − y³ | +, −, +, − | Заменить буквенные обозначения |
| (2a − 3b)³ | 8a³ − 36a²b + 54ab² − 27b³ | +, −, +, − | Возвести одночлены в куб и учесть коэффициенты 3 |
| (100 − 1)³ | 1000000 − 30000 + 300 − 1 = 970299 | +, −, +, − | Представить число как разность удобных чисел |
В первой колонке выбери нужное выражение, а затем проследи, как его части подставлены в общую формулу. В строке с одночленами отдельно проверь кубы коэффициентов и букв. Для числового примера сначала подбери разность, которую легко возвести в степени.
Раскроем скобки в выражении (x − 2)³. Здесь первым выражением является x, а вторым — число 2. Подстановка в формулу помогает сразу увидеть четыре слагаемых и их знаки. Затем вычислим числовые коэффициенты и степени.
Ответ: x³ − 6x² + 12x − 8.
Теперь раскроем (2a − 3b)³. Первым выражением здесь служит весь одночлен 2a, а вторым — 3b. Важно возводить в куб коэффициенты вместе с буквами: например, (2a)³ = 8a³. Подставим одночлены в формулу, сохраняя коэффициенты смешанных членов.
Ответ: 8a³ − 36a²b + 54ab² − 27b³.
Вычислим 99³, представив 99 как 100 − 1. Это удобно: степени 100 и 1, а также произведения с ними легко считать. После раскрытия формулы останется сложить и вычесть полученные числа. Такая запись сокращает вычисления по сравнению с перемножением трёх чисел 99.
Ответ: 99³ = 970299.
Ошибка: записывать (a − b)³ = a³ − b³, пропуская смешанные слагаемые. Так делают, перенося правило возведения суммы или разности на куб, но оно здесь не работает: скобку нужно умножить на себя три раза. Проверка: в формуле должны быть четыре слагаемых; можно также подставить a = 2 и b = 1 и сравнить значения обеих частей.
Ошибка: менять местами знаки смешанных членов и писать, например, −3ab² вместо +3ab². Это случается, если не отслеживать, сколько множителей −b выбрано при умножении скобок. Проверь порядок знаков: плюс, минус, плюс, минус. Полная запись формулы перед подстановкой помогает не ошибиться.
Ошибка: забывать коэффициент 3 перед одним или обоими смешанными слагаемыми. При раскрытии скобок ученик может выписать только один вариант произведения a²b или ab². Но каждый из этих видов произведения получается тремя способами. Чтобы проверить себя, убедись, что записаны оба члена с коэффициентом 3.
Ошибка: считать, что (2a)³ = 2a³. При возведении одночлена в куб в третью степень нужно возвести и коэффициент, и буквенную часть: (2a)³ = 2³a³ = 8a³. Ошибка появляется, когда степень применяют только к букве. Для проверки отдельно вычисли куб числового коэффициента и степень каждой буквы.
Для работы с кубом разности нужно уметь раскрывать скобки, перемножать многочлены и возводить одночлены в степень. Именно эти действия лежат в основе вывода формулы и её применения. Если они вызывают затруднения, полезно сначала повторить умножение скобок и правила степеней.
Формула связана с формулами квадрата суммы и разности, а также с кубом суммы. Во всех этих случаях многочлен раскладывается по определённому правилу, но знаки и слагаемые нужно выбирать именно по нужной формуле. Сравнение формул помогает не смешивать их между собой.
Куб разности используют при тождественных преобразованиях, разложении многочленов и упрощении вычислений. Например, близкое к круглому числу выражение можно представить как разность и возвести в куб по формуле. Это позволяет выполнять расчёты быстрее и проверять равенства.
Почему куб разности не равен разности кубов?
Потому что (a − b)³ означает произведение трёх скобок (a − b), и при их раскрытии появляются ещё два смешанных слагаемых. Поэтому (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³, а не просто a³ − b³.
Откуда берутся коэффициенты 3 в формуле?
При умножении трёх скобок одинаковые смешанные произведения возникают по три раза. Например, a²b можно получить, выбрав b из любой одной из трёх скобок, поэтому перед ним стоит коэффициент 3.
Как не перепутать знаки в двух средних слагаемых?
Запишите формулу целиком: a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Знаки идут по порядку: плюс, минус, плюс, минус; особенно проверяйте, что второй смешанный член положительный.
Можно ли применять формулу, если вместо букв стоят числа?
Да, числа можно подставлять вместо a и b так же, как буквенные выражения. Например, 99³ удобно считать, представив 99 как 100 − 1 и раскрыв куб разности.
Как по многочлену распознать, что он является кубом разности?
Проверьте, есть ли четыре слагаемых вида a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Крайние слагаемые должны быть кубами, средние — содержать коэффициент 3, а знаки идти по порядку плюс, минус, плюс, минус.
6.8. Куб разности
