"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Формулы сокращённого умножения помогают быстро раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители. В теме используются квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Главное — узнавать нужную структуру: в квадратах есть средний член с удвоенным произведением, а разность квадратов превращается в произведение суммы и разности. Формулы работают в обоих направлениях и позволяют также удобнее вычислять некоторые числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы сокращённого умножения — тождества, то есть равенства, верные при любых допустимых значениях букв. Они позволяют быстро раскрывать скобки или, наоборот, превращать выражение в произведение. Вместо длинного умножения можно узнать знакомую структуру и применить готовое правило. Это помогает экономить время и меньше ошибаться при преобразованиях.
Квадрат суммы задаётся равенством (a + b)² = a² + 2ab + b². Здесь a и b — любые выражения, а 2ab означает удвоенное произведение этих выражений. Формула нужна, когда квадрат суммы требуется раскрыть или многочлен удаётся узнать как квадрат суммы. Например, в выражении (x + 3)² роль a играет x, а роль b — 3.
Квадрат разности задаётся равенством (a − b)² = a² − 2ab + b². Крайние слагаемые здесь тоже являются квадратами, а среднее — удвоенным произведением со знаком минус. Формула помогает раскрывать квадрат разности без повторного перемножения скобок и распознавать такие квадраты в готовом многочлене. Важно учитывать знак перед средним членом.
Разность квадратов — это равенство a² − b² = (a − b)(a + b). В левой части стоят квадраты двух выражений, разделённые знаком минус; в правой — их разность и сумма. Эта формула превращает многочлен в произведение двух скобок. Она не подходит к сумме квадратов, где между слагаемыми стоит плюс.
Формулы следуют из распределительного свойства умножения: чтобы умножить сумму на сумму, каждый член первой скобки умножают на каждый член второй. Например, (a + b)² означает (a + b)(a + b), откуда получаются a², ab, ab и b². Два одинаковых произведения ab складываются в 2ab. В квадрате разности произведения −ab и −ab дают −2ab, а произведение двух отрицательных слагаемых даёт положительное b².
Равенство можно читать слева направо и справа налево, потому что его левая и правая части имеют одинаковые значения. Слева направо формула раскрывает скобки: вместо квадрата суммы появляется многочлен. Справа налево выражение собирается в скобки, например a² + 2ab + b² превращается в (a + b)². Так же разность квадратов из двух слагаемых становится произведением. Обратное применение удобно, когда нужно разложить многочлен на множители.
Чтобы распознать квадрат суммы, проверьте три части: первый и последний члены должны быть квадратами, а средний — их удвоенным произведением с плюсом. Для квадрата разности условия похожи, но средний член отрицательный. Например, x² + 6x + 9 подходит под квадрат суммы: x и 3 дают крайние квадраты, а 2 · x · 3 = 6x. Если средний член или его знак не совпадает, формулу применять нельзя.
Для вычислений полезно представить число как сумму или разность круглого числа и небольшой добавки. Так, 49 удобно записать как 50 − 1: вместо умножения 49 на 49 можно вычислить 50² − 2 · 50 · 1 + 1². Такой способ особенно удобен, когда одно из слагаемых легко возвести в квадрат. При выборе формулы учитывайте, больше число круглого или меньше него.
Проверяйте преобразование по устройству формулы: у квадратов суммы средний член положительный, у квадрата разности — отрицательный, а в разности квадратов должно быть два квадрата с минусом между ними. Сверьте также, что средний член равен удвоенному произведению крайних частей. Наконец, раскройте полученные скобки обратно и сравните результат с исходным выражением. Такая проверка помогает заметить потерянный член или неверный знак.
| Формула | Обратное применение | Основной признак | Для чего используется |
|---|---|---|---|
| (a + b)² = a² + 2ab + b² | a² + 2ab + b² = (a + b)² | Средний член равен 2ab и имеет знак плюс | Раскрыть квадрат суммы или выделить его |
| (a − b)² = a² − 2ab + b² | a² − 2ab + b² = (a − b)² | Средний член равен −2ab | Раскрыть квадрат разности или выделить его |
| a² − b² = (a − b)(a + b) | (a − b)(a + b) = a² − b² | Два квадрата разделены знаком минус | Разложить разность квадратов или раскрыть произведение |
Сначала найдите в выражении признак из третьего столбца и проверьте, что все части совпадают с формулой. Затем выберите направление: раскрывайте скобки или собирайте выражение в произведение. Если нужный средний член или знак отсутствует, формулу применять нельзя.
Задача 1. Вычислить 49². Умножать 49 на 49 столбиком можно, но число близко к круглому 50. Представим его как 50 − 1, чтобы применить квадрат разности. Это позволит получить ответ с помощью простых действий.
Ответ: 2401. Знак перед удвоенным произведением отрицательный, потому что число записано как разность. Проверить вычисление можно умножением 49 на 49.
Задача 2. Разложить на множители 9x² − 25. Между двумя слагаемыми стоит минус, а каждое из них является квадратом: 9x² = (3x)² и 25 = 5². Значит, выражение имеет структуру разности квадратов. В формуле вместо a берём 3x, а вместо b — 5.
Ответ: (3x − 5)(3x + 5). Проверка: при раскрытии скобок произведения средние слагаемые взаимно уничтожаются, и остаётся 9x² − 25. Важно, что в скобках стоят и разность, и сумма.
Задача 3. Упростить (x + 4)² − (x − 4)². Можно раскрыть оба квадрата по формулам, а затем привести подобные слагаемые. Удобно отдельно следить за знаками второго квадрата: перед ним стоит минус, поэтому после раскрытия скобок знаки всех его членов изменятся. Сравнение одинаковых членов покажет, что сокращается.
Ответ: 16x. Квадратные и постоянные слагаемые сократились, потому что появились с противоположными знаками. Линейные слагаемые, наоборот, стали одинаковыми: при вычитании −8x получилось +8x.
В квадрате суммы иногда оставляют только a² и b², забывая слагаемое 2ab. Так происходит, если возводить в квадрат отдельно каждый член скобки и не раскрыть произведение двух скобок полностью. Проверка проста: запишите (a + b)(a + b) и убедитесь, что два произведения ab складываются. Без среднего члена равенство обычно неверно.
В квадрате разности могут поставить плюс перед 2ab вместо минуса. Ошибка появляется, когда знак в скобках не учитывают при умножении: произведения a · (−b) и (−b) · a оба отрицательны. Проверьте формулу раскрытием скобок или подставьте простые числа, например a = 5 и b = 1. Тогда квадрат разности равен 16, а запись с плюсом дала бы 36.
Разность квадратов иногда ошибочно записывают как (a − b)². Но квадрат разности при раскрытии даёт три слагаемых, а разность квадратов раскладывается на произведение двух скобок: (a − b)(a + b). Ошибку легко обнаружить обратным раскрытием скобок. В произведении средние члены сокращаются, и получается a² − b².
Формулу разности квадратов нельзя применять к выражению a² + b². Ошибка возникает из-за того, что оба слагаемых выглядят как квадраты, но между ними стоит плюс, а формула требует минус. Сверьте знак между слагаемыми до преобразования. Если стоит плюс, это не разность квадратов, и нужного разложения по этой формуле нет.
Перед применением формул нужно уметь пользоваться распределительным свойством умножения, работать со степенями и приводить подобные слагаемые. Эти знания объясняют, откуда возникают формулы и помогают раскрывать скобки без ошибок. Дальше те же формулы пригодятся при разложении многочленов на множители и решении уравнений. Позже они помогут преобразовывать рациональные выражения и доказывать тождества.
Почему в квадрате суммы появляется слагаемое 2ab?
Квадрат суммы — это произведение (a + b)(a + b). При раскрытии скобок возникают два одинаковых произведения ab, поэтому вместе они дают 2ab.
Как быстро понять, является ли выражение разностью квадратов?
Проверьте, что выражение состоит из двух квадратов, между которыми стоит знак минус. Например, 9x² − 25 = (3x)² − 5². Тогда можно применить формулу разности квадратов.
Можно ли применять формулу квадрата разности, если второе слагаемое само является многочленом?
Да. Вместо b можно взять целый многочлен, например: (x − (y + 2))² = x² − 2x(y + 2) + (y + 2)². Нужно считать выражение в скобках одним слагаемым и аккуратно раскрыть скобки дальше.
Почему выражение a^2 + b^2 нельзя разложить по формуле разности квадратов?
В формуле a² − b² между квадратами стоит минус, а в выражении a² + b² — плюс. Поэтому нужной структуры нет и формулу разности квадратов применять нельзя.
Какую формулу выбрать для вычисления квадрата числа, близкого к круглому?
Представьте число как круглое число плюс или минус небольшое слагаемое. Если оно на несколько единиц меньше круглого, используйте квадрат разности, а если больше — квадрат суммы.
6.9. Применение формул сокращённого умножения
