6.2. Квадрат разности

Определения и обозначения

Квадрат разности — выражение вида (a − b)², то есть произведение разности на саму себя: (a − b)(a − b). Буквы a и b могут обозначать числа или выражения. Это понятие нужно, чтобы не перемножать скобки каждый раз заново, а пользоваться готовым способом раскрытия.

Формула квадрата разности — тождество (a − b)² = a² − 2ab + b². Она связывает запись в скобках с записью в виде трёх слагаемых. С её помощью можно быстро раскрыть скобки, а также проверить, можно ли многочлен свернуть в квадрат разности.

Тождество — равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Например, формула квадрата разности работает не только для отдельных чисел, но и для буквенных выражений вместо a и b. Это позволяет применять один и тот же приём во множестве задач.

Средний член квадрата разности — слагаемое −2ab, возникающее между квадратами первого и второго выражений. Оно показывает, как оба выражения влияют на результат при перемножении скобок. По среднему члену можно проверить, правильно ли раскрыт квадрат разности или распознан ли он в многочлене.

Как это устроено

Чтобы раскрыть квадрат разности, сначала заменяют степень произведением двух одинаковых скобок: (a − b)² = (a − b)(a − b). Это следует из смысла квадрата: любое выражение во второй степени умножается само на себя. Такая запись помогает увидеть все произведения, которые появятся при умножении.

Теперь перемножим каждый член первой скобки с каждым членом второй. Получатся четыре произведения: a · a = a², a · (−b) = −ab, (−b) · a = −ab и (−b) · (−b) = b². Четыре результата нужно записать вместе, потому что каждый из них возникает при умножении пары членов из разных скобок.

Два средних произведения одинаковы: −ab и −ab. Их можно сложить, как подобные слагаемые: −ab − ab = −2ab. Именно поэтому в формуле появляется коэффициент 2: он показывает, что произведение ab возникло дважды. После объединения остаётся три слагаемых: a² − 2ab + b².

Знак у среднего члена отрицательный, потому что каждое перекрёстное умножение включает один положительный член a и один отрицательный член −b. А последний член положителен: при умножении −b на −b знаки минус дают плюс. Поэтому формула имеет вид a² − 2ab + b², а не a² − 2ab − b².

Формулу можно применять и справа налево. Если выражение состоит из квадрата первого члена, квадрата второго и среднего члена, равного −2ab, оно может быть квадратом разности. Например, в x² − 10x + 25 крайние слагаемые — x² и 5², а −10x = −2 · x · 5. Значит, выражение можно записать как (x − 5)².

Квадрат разности и близкие выражения

Сначала найди в таблице исходное выражение, а затем сравни его преобразование и знаки. Особенно внимательно различай квадрат разности и разность квадратов: похожие слова обозначают разные формулы. Знак среднего члена помогает отличить квадрат суммы от квадрата разности.

Разбор задач

Раскройте скобки: (x − 5)². Здесь дан квадрат разности, поэтому не нужно умножать скобки заново: можно воспользоваться формулой. Первым выражением является x, вторым — 5. Подставим их вместо a и b, сохраняя минус перед средним членом.

1. Запишем формулу: (a − b)² = a² − 2ab + b².
2. Подставим a = x и b = 5: x² − 2 · x · 5 + 5².
3. Вычислим произведение и квадрат числа: x² − 10x + 25.

Ответ: x² − 10x + 25. Проверка проста: крайние слагаемые — квадраты x и 5, а среднее равно −2 · x · 5.

Упростите выражение: (3a − 2b)² + 6ab. В скобках первым выражением является 3a, а вторым — 2b. При подстановке важно возвести в квадрат всё первое слагаемое и учесть оба множителя в среднем члене. Затем сложим подобные слагаемые, то есть слагаемые с одинаковой буквенной частью.

1. Раскроем квадрат: (3a)² − 2 · 3a · 2b + (2b)².
2. Вычислим: 9a² − 12ab + 4b².
3. Прибавим оставшееся слагаемое: 9a² − 12ab + 4b² + 6ab.
4. Объединим −12ab и 6ab: −12ab + 6ab = −6ab.

Ответ: 9a² − 6ab + 4b². Средний член квадрата разности сначала получился равным −12ab, а добавление 6ab изменило его после приведения подобных слагаемых.

Вычислите без калькулятора: 99². Число 99 удобно представить как 100 − 1, потому что квадрат 100 и произведение 100 · 1 легко вычислить. Тогда задача превращается в применение знакомой формулы к разности двух чисел. После этого останется выполнить простые арифметические действия.

1. Представим число как разность: 99² = (100 − 1)².
2. Применим формулу: 100² − 2 · 100 · 1 + 1².
3. Вычислим: 10 000 − 200 + 1 = 9801.

Ответ: 9801. Такой способ удобен для чисел, которые близки к круглым сотням или десяткам.

Типичные ошибки

Ошибка: записать (a − b)² = a² − b². Так путают квадрат разности с разностью квадратов, потому что в обоих выражениях есть квадраты и знак минус. Проверь запись умножением скобок: квадрат разности даёт средний член −2ab, а a² − b² раскладывается на (a − b)(a + b).

Ошибка: получить a² − ab + b², забыв множитель 2. Это случается, если учесть только одно из двух одинаковых перекрёстных произведений. Для проверки раскрой (a − b)(a − b) по членам: в записи должны появиться два слагаемых −ab, которые складываются в −2ab.

Ошибка: поставить минус перед b² и записать a² − 2ab − b². Минус перед b во второй скобке легко перенести на последний член, хотя этот член получается из произведения (−b)(−b). Проверь знаки отдельно: произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому квадрат второго слагаемого входит со знаком плюс.

Ошибка: неверно раскрыть квадрат двучлена с коэффициентом, например принять (3x − 2)² за 9x² − 6x + 4. В среднем члене нужно умножить коэффициент первого слагаемого, его буквенную часть и второе слагаемое: −2 · 3x · 2 = −12x. Проверяй каждое слагаемое через формулу, не возводя в квадрат только число при букве.

Связь с другими темами

Для раскрытия квадрата разности нужны умножение многочленов и умение раскрывать скобки: именно так получается формула. Также пригодится приведение подобных слагаемых, например при упрощении выражения с дополнительным членом 6ab. Эти действия помогают не только раскрывать, но и проверять преобразования.

Формула используется при упрощении выражений и выполнении тождественных преобразований. В дальнейшем она поможет разлагать многочлены на множители, решать уравнения и преобразовывать дробные выражения. Узнавание квадрата разности позволяет заменить длинную запись коротким произведением или, наоборот, раскрыть его.

Что запомнить

• Квадрат разности — это произведение разности на саму себя.
• (a − b)² = a² − 2ab + b².
• Средний член квадрата разности равен −2ab.
• Квадраты первого и второго слагаемых входят со знаком плюс.
• Знак минус относится только к среднему члену.
• Квадрат разности нельзя заменять разностью квадратов.
• Формулу можно применять и слева направо, и справа налево.