"Алгебра", Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н. и др.
Квадрат суммы — это выражение вида (a + b)², которое получают умножением суммы на саму себя. Главная формула темы: (a + b)² = a² + 2ab + b². Она помогает быстро раскрывать скобки, упрощать многочлены и выполнять вычисления. По трёхчлену a² + 2ab + b² можно восстановить квадрат двучлена и проверить, является ли выражение полным квадратом.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Квадрат суммы — выражение вида (a + b)², то есть произведение суммы на саму себя: (a + b)(a + b). Это обозначение позволяет перейти от скобок к многочлену.
Квадрат двучлена — квадрат выражения, состоящего из двух слагаемых. Например, (x + 3)² — квадрат двучлена x + 3, а не сумма квадратов x² и 3².
Формула квадрата суммы — равенство (a + b)² = a² + 2ab + b². Она нужна, чтобы быстро раскрывать скобки и не выполнять одно и то же умножение полностью каждый раз.
Полный квадрат — трёхчлен, который можно представить в виде квадрата суммы. Например, x² + 6x + 9 является полным квадратом, потому что равен (x + 3)².
Чтобы раскрыть квадрат суммы, сначала заменяют степень произведением: (a + b)² = (a + b)(a + b). Затем каждый член первой скобки умножают на каждый член второй: a умножается на a и на b, а b — на a и на b. Получаются четыре слагаемых: a², ab, ba и b².
Произведения ab и ba равны, потому что от перестановки множителей произведение не меняется. Поэтому два средних слагаемых можно объединить: ab + ba = ab + ab = 2ab. Именно так в формуле появляется удвоенное произведение, а не одно произведение ab.
Формулу можно увидеть геометрически. Представим квадрат со стороной a + b и разделим каждую его сторону на части a и b. Внутри получатся квадрат со стороной a и площадью a², два прямоугольника площадью ab и квадрат со стороной b и площадью b². Сумма площадей этих частей равна площади всего квадрата: (a + b)² = a² + ab + ab + b².
При работе с выражением нужно сначала определить два слагаемых в скобках. В записи (x + 3)² это x и 3, а в записи (2m + n)² — 2m и n, поэтому первым результатом будет (2m)² = 4m². После этого находят удвоенное произведение и квадрат второго слагаемого.
По трёхчлену можно действовать в обратную сторону. Если первый и последний члены являются квадратами, извлекают из них основания, а затем проверяют средний член. Если он равен удвоенному произведению этих оснований, трёхчлен можно записать как квадрат суммы.
| Исходное выражение | Первое слагаемое | Второе слагаемое | Раскрытие квадрата | Распознавание полного квадрата |
|---|---|---|---|---|
| (a + b)² | a | b | a² + 2ab + b² | а² + 2ab + b² = (a + b)² |
| (x + 3)² | x | 3 | x² + 6x + 9 | x² + 6x + 9 = (x + 3)² |
| (2m + n)² | 2m | n | 4m² + 4mn + n² | 4m² + 4mn + n² = (2m + n)² |
Сначала найдите два слагаемых в скобках, затем подставьте их в формулу. Для обратной проверки смотрите на крайние члены и сравнивайте средний член с удвоенным произведением оснований.
Таблица показывает, что коэффициент тоже входит в слагаемое и должен возводиться в квадрат вместе с переменной. Это помогает не перепутать (2m)² с 2m².
Здесь квадрат уже записан в виде квадрата суммы. Первое слагаемое равно x, второе — 5, поэтому достаточно применить формулу без дополнительного преобразования.
Ответ: (x + 5)² = x² + 10x + 25.
Слагаемыми являются не a и b отдельно, а одночлены 3a и 2b. Поэтому каждый коэффициент нужно возвести в квадрат вместе со своей переменной.
Ответ: (3a + 2b)² = 9a² + 12ab + 4b².
Теперь применяем формулу в обратном направлении. Крайний член x² подсказывает первое основание x, а число 25 является квадратом числа 5. Осталось проверить средний член.
Ответ: x² + 10x + 25 = (x + 5)².
Забывают удвоенное произведение: пишут (a + b)² = a² + b². Так происходит, если воспринимать квадрат суммы как сумму квадратов. Проверка проста: раскройте скобки умножением — должны появиться два средних произведения.
Получают ab или 4ab вместо 2ab. Одно ab означает, что учтено только одно произведение, а 4ab часто возникает из-за лишнего умножения на два. Сверьте два средних слагаемых: ab + ab всегда дают 2ab.
Неверно возводят в квадрат слагаемые с коэффициентами. Например, (3a)² — это 9a², а не 3a² и не 3a² без учёта коэффициента. Возводите в квадрат весь одночлен целиком.
Игнорируют знак среднего члена при восстановлении квадрата. Нельзя выбирать знак в скобках только по крайним членам. Подставьте найденный двучлен обратно и проверьте, получается ли нужный средний член.
До изучения формулы нужно уметь раскрывать скобки, умножать одночлены и возводить одночлены в квадрат. Эти действия объясняют каждый шаг вывода формулы.
Формула помогает быстро преобразовывать многочлены и выполнять некоторые вычисления устно. Например, число 105² удобно представить как (100 + 5)².
Дальше эта тема связывается с квадратом разности, разложением многочленов на множители и решением уравнений. Умение узнавать полный квадрат понадобится во всех этих разделах.
Почему в формуле появляется слагаемое 2ab?
При умножении (a + b)(a + b) дважды получается произведение ab: из первого умножения и из второго. Поэтому ab + ab = 2ab.
Чем квадрат суммы отличается от суммы квадратов?
Квадрат суммы равен a² + 2ab + b² и содержит средний член 2ab. Сумма квадратов — это только a² + b², поэтому эти выражения обычно не равны.
Как не перепутать первое и второе слагаемые при применении формулы?
Нужно разделить выражение в скобках на два слагаемых: всё до знака плюс будет первым, всё после него — вторым. Затем каждый член отдельно возводят в квадрат, а их произведение удваивают.
Как понять, является ли трёхчлен полным квадратом?
Проверьте, являются ли крайние члены квадратами одночленов. Затем сравните средний член с удвоенным произведением оснований этих квадратов; совпадение подтверждает полный квадрат.
Можно ли применять формулу, если слагаемые содержат коэффициенты и переменные?
Да, можно. Например, в выражении (2m + n)² первым слагаемым является 2m, поэтому его квадрат равен 4m², а удвоенное произведение равно 4mn.
6.1. Квадрат суммы
