2.5. Деление многочлена на одночлен

Определения и обозначения

Деление многочлена на одночлен — действие, при котором каждый член многочлена делят на данный одночлен. Например, выражение (6x + 9) : 3 означает, что и 6x, и 9 делят на 3. Это определение помогает не перепутать деление всего многочлена с делением только его первого члена. Так мы получаем правило, применимое к каждому слагаемому.

Частное многочлена и одночлена — результат деления, полученный после деления каждого члена многочлена. Если (6x + 9) : 3 = 2x + 3, выражение 2x + 3 является частным. Оно показывает, какое выражение нужно умножить на делитель, чтобы получить исходный многочлен. Понятие частного нужно, чтобы назвать и записать результат действия.

Деление одночленов — деление их числовых коэффициентов и вычитание показателей одинаковых буквенных множителей. Например, 12x³ : 4x = 3x²: коэффициенты дают 3, а для буквенной части из 3 вычитают 1. Такое правило применяют к каждому члену многочлена отдельно. Оно позволяет сократить вычисления до понятных действий с числами и степенями.

Как это устроено

Правило деления многочлена на одночлен связано с распределительным свойством умножения. Например, если (6x + 9) : 3 = 2x + 3, то (2x + 3) · 3 = 6x + 9. Значит, общий делитель можно применить к каждому слагаемому, а сложение частных после умножения на него восстановит исходное выражение. Именно поэтому многочлен делят по членам, а не как одно неразделимое целое.

Чтобы разделить многочлен на одночлен, нужно разделить на него каждый член и записать результаты с исходными знаками. Делитель один и тот же для всех членов, поэтому действие повторяется отдельно для каждого слагаемого. Например, знак «минус» перед членом остаётся при этом члене, если делитель положительный. Так сохраняется смысл суммы или разности, из которых составлен многочлен.

При делении отдельного члена коэффициенты делят друг на друга, а показатели одинаковых буквенных множителей вычитают. Это следует из обратного правила умножения степеней: x² · x³ = x⁵, поэтому при обратном действии степень делимого распадается на степень делителя и остаток. Например, 15a²b : 5ab = 3a: коэффициенты дают 3, показатели a дают 2 − 1 = 1, а множитель b сокращается. Если буквы в делимом и делителе не совпадают, вычитать показатели для них нельзя.

Перед вычислением удобно привести многочлен и одночлен к стандартному виду: записать коэффициенты и буквенные множители в обычном порядке. Затем проверь, что делитель входит в каждый член, то есть показатели его букв не превосходят соответствующие показатели в членах многочлена. Например, 5ab входит в 15a²b и 10ab², но не входит в 3a², потому что в делителе есть множитель b. Такая проверка помогает не получить отрицательные показатели, которые в этой теме не используются.

Готовое частное можно проверить обратным действием — умножением на делитель. Умножь каждый член частного на одночлен и сложи полученные выражения с учётом знаков. Если после упрощения вышел первоначальный многочлен, деление выполнено верно. Если выражения различаются, ищи ошибку в коэффициенте, степени или знаке.

Как разделить многочлен на одночлен

Пользуйся таблицей по порядку: сначала выполни деление для каждого члена, затем отдельно проверь коэффициенты и буквенные множители. Не забывай переписывать знаки исходных членов. В конце умножь частное на делитель, чтобы убедиться в результате.

Разбор задач

Разделите 12x + 8 на 4.

В многочлене два члена, поэтому делитель нужно применить к обоим. Буквенный множитель есть только в первом члене, а во втором делятся обычные числа. Между членами стоит знак плюс, и он сохранится в ответе.

1. Запишем деление каждого члена: (12x + 8) : 4 = 12x : 4 + 8 : 4.
2. Разделим коэффициенты: 12 : 4 = 3 и 8 : 4 = 2, поэтому 12x : 4 = 3x.
3. Соединим результаты исходным знаком: 3x + 2.

Ответ: 3x + 2. Проверка показывает, что (3x + 2) · 4 = 12x + 8. Получился исходный многочлен, значит, частное найдено верно.

Разделите 15a²b − 10ab² на 5ab.

Оба члена содержат буквенные множители a и b, поэтому делитель подходит к каждому. В каждом частном отдельно разделим числовые коэффициенты и вычтем показатели одинаковых букв. Минус перед вторым членом переносится в результат.

1. Разделим первый член: 15a²b : 5ab = 3a²⁻¹b¹⁻¹ = 3a.
2. Разделим второй член: 10ab² : 5ab = 2a¹⁻¹b²⁻¹ = 2b.
3. Вернём исходный знак между результатами: 3a − 2b.

Ответ: 3a − 2b. Здесь 2 − 1 = 1 для буквы a, а 1 − 1 = 0 для b в первом члене. Степень 0 означает, что множитель исчезает, поэтому в результате остаётся 3a.

Разделите 18x³y − 12x²y² + 6xy на 6xy и проверьте результат.

Делитель 6xy входит во все три члена, значит, можно делить многочлен по членам. Знаки исходных членов — плюс, минус, плюс — должны сохраниться. После вычислений проверим ответ умножением на 6xy.

1. Первый член: 18x³y : 6xy = 3x².
2. Второй член: 12x²y² : 6xy = 2xy; перед ним сохраняем минус.
3. Третий член: 6xy : 6xy = 1. Получаем частное 3x² − 2xy + 1.
4. Проверим: (3x² − 2xy + 1) · 6xy = 18x³y − 12x²y² + 6xy.

Ответ: 3x² − 2xy + 1. При умножении частного на делитель каждый его член вернул соответствующий член исходного многочлена. Значит, вычисления выполнены правильно.

Типичные ошибки

Ошибка: делить на одночлен только первый член многочлена. Так поступают, когда воспринимают выражение как одну запись и забывают, что в нём несколько слагаемых. В результате остальные члены не делятся, и распределительное правило нарушается. Проверь себя: напротив каждого члена многочлена должна быть записана операция деления.

Ошибка: потерять минус у одного из членов. Это случается, если при вычислении сосредоточиться на коэффициентах и не перенести знак. Знак каждого результата определяется знаком исходного члена, если делитель положительный. Для проверки сравни знаки в исходном выражении и частном до умножения.

Ошибка: сложить показатели одинаковых букв вместо того, чтобы вычесть. Сложение используют при умножении степеней с одинаковым основанием, а здесь выполняют обратное действие — деление. Например, x⁴ : x² = x², а не x⁶. Проверь операцию на простой записи: показатель делимого должен уменьшиться на показатель делителя.

Ошибка: не проверить, входит ли делитель в каждый член многочлена. Её допускают, когда смотрят только на первый член или забывают про одну из букв. Тогда могут появиться отрицательные показатели, которые в рамках этой темы не изучаются. Перед делением сравни показатели букв делителя с показателями в каждом члене.

Связь с другими темами

Для деления нужно узнавать одночлены и многочлены в стандартном виде. Также понадобятся правила умножения степеней с одинаковыми основаниями: они объясняют, почему при делении показатели вычитают. Эти знания позволяют отдельно обработать числовую и буквенную части каждого члена.

Правило опирается на распределительное свойство умножения и умение делить числовые коэффициенты. Проверка частного также связана с умножением: деление и умножение на один и тот же делитель помогают восстановить исходное выражение. Поэтому полезно уверенно выполнять оба действия.

Деление многочлена на одночлен пригодится при упрощении алгебраических выражений и решении уравнений. Оно помогает преобразовать запись к более удобному виду. Перед применением всегда проверь, что делитель входит в каждый член.

Что запомнить

• Делитель применяют к каждому члену многочлена.
• Знаки членов при делении сохраняют.
• Числовые коэффициенты делят друг на друга.
• Показатели одинаковых буквенных множителей вычитают.
• Делитель должен входить в каждый член многочлена.
• Правильность деления проверяют умножением частного на делитель.