§ 26. Деление многочлена на одночлен

Определения и обозначения

Деление многочлена на одночлен — операция, при которой каждый член многочлена делят на данный одночлен. Например, в выражении (6x² + 9x) : 3x делить нужно и 6x², и 9x. Такое определение помогает не пропустить слагаемое и получить частное всего выражения.

Частное многочлена на одночлен — результат деления; оно является многочленом, если каждый член делимого можно разделить на делитель по изученным правилам. Например, при делении 6x² + 9x на 3x частное — 2x + 3. Это условие нужно, чтобы ответ состоял из допустимых членов многочлена, а не содержал отрицательные степени переменных.

Почленное деление — способ найти частное, разделив на одночлен каждый член многочлена отдельно. Так, выражение (u + v) : c можно представить как u : c + v : c, если деление каждого слагаемого возможно. Этот способ превращает деление сложного выражения в несколько делений одночленов.

Делимость одночленов означает, что числовой коэффициент делится нацело, а показатели общих переменных после деления остаются неотрицательными целыми числами. Например, 12a³ : 4a делится без остатка, а 12a : 4a² потребовало бы отрицательной степени a. Проверка делимости заранее показывает, будет ли частное многочленом.

Как это устроено

Почленное деление следует из распределительного свойства: общий делитель можно применить отдельно к каждому слагаемому суммы. Если умножение частного на делитель возвращает исходную сумму, то сумма частных и есть искомый результат. Поэтому, например, (12x + 18) : 6 превращается в 12x : 6 + 18 : 6. Это правило работает, когда деление каждого члена допустимо.

В каждом члене сначала разбираются с числовой частью и переменными. Числовые коэффициенты делят, потому что это обычное деление чисел, а одинаковые основания степеней сокращаются: a⁵ : a² = a³. Показатели поэтому не делят, а вычитают: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, и вычитание возвращает обратное действие. Например, 15a³b : 5ab = 3a².

Если переменная есть в делителе, её показатель в каждом члене делимого должен быть не меньше соответствующего показателя в делителе. Тогда после вычитания получится ноль или положительное целое число, а отрицательных степеней не возникнет. Например, x² : x допустимо, а x : x² приводит к x⁻¹, которого нет среди членов многочлена. Поэтому условие проверяют для каждого слагаемого, а не только для первого.

Переменная, которой нет в делителе, сохраняет прежний показатель, потому что делить её не на что. Например, при делении 8x²y на 4x число 8 делится на 4, а показатель x уменьшается на единицу; y остаётся без изменений. Получаем 2xy. Этот разбор отдельно для каждой переменной помогает не менять лишние части одночлена.

Проверка умножением основана на том, что умножение отменяет деление. Нужно умножить найденное частное на одночлен-делитель и раскрыть скобки, если они есть. Для почленного частного каждый член после умножения должен вернуться к соответствующему члену исходного многочлена. Если сумма совпала с исходной, результат верен; несовпадение указывает на ошибку в коэффициенте, степени или знаке.

Как делить одночлен на одночлен при почленном делении

Используйте таблицу как короткий порядок действий: пройдите по каждому члену многочлена и примените к нему нужные правила. Перед вычислениями отдельно проверьте переменные, которые стоят в делителе: их показателей должно хватать в каждом члене. В конце сохраните знаки и при необходимости проверьте ответ умножением.

Разбор задач

Задача 1. Разделите 12x + 18 на 6. В делителе нет переменных, значит, нужно поделить на 6 каждый числовой коэффициент, а букву x оставить. Знак между слагаемыми при этом не меняется.

1. Записываем почленное деление: 12x : 6 + 18 : 6.
2. Делим коэффициенты: 12 : 6 = 2 и 18 : 6 = 3.
3. Собираем результат: 2x + 3.

Ответ: 2x + 3. Проверка: (2x + 3) · 6 = 12x + 18, то есть исходное выражение.

Задача 2. Разделите 15a³b − 10a²b² + 5ab на 5ab. Сначала проверяем каждый член: коэффициенты 15, 10 и 5 делятся на 5, а показатели a и b в каждом члене не меньше единицы. Значит, можно получить многочлен и обработать слагаемые по очереди.

1. Записываем деление каждого члена: 15a³b : 5ab − 10a²b² : 5ab + 5ab : 5ab.
2. В первом частном коэффициент равен 3, показатели дают a³⁻¹ = a² и b¹⁻¹ = 1, поэтому выходит 3a².
3. Во втором частном коэффициент равен 2, показатели дают a²⁻¹ = a и b²⁻¹ = b; исходный минус сохраняется, получаем −2ab.
4. В третьем частном коэффициент равен 1, а обе переменные сокращаются: 1.

Ответ: 3a² − 2ab + 1. Здесь особенно важно сохранить минус перед вторым частным: деление положительного одночлена на положительный не меняет знак исходного члена.

Задача 3. Разделите 12x² + 8x на 4x и проверьте ответ умножением. Делитель содержит x¹, поэтому у каждого слагаемого должна быть хотя бы одна x; в первом их две, во втором — одна. Значит, оба деления допустимы и отрицательных степеней не появится.

1. Делим по членам: 12x² : 4x + 8x : 4x.
2. В первом частном делим коэффициенты 12 : 4 = 3 и вычитаем показатели: x²⁻¹ = x; получаем 3x.
3. Во втором частном получаем 8 : 4 = 2 и x¹⁻¹ = 1; значит, это 2.
4. Умножаем частное на делитель: (3x + 2) · 4x = 12x² + 8x.

Ответ: 3x + 2. При проверке снова получилось исходное выражение, поэтому частное найдено верно.

Типичные ошибки

Первая ошибка — разделить только первый член и забыть остальные. Так происходит, если воспринимать многочлен как одно целое, а не как сумму; в ответе тогда теряются слагаемые. Сверьте количество членов: деление должно быть выполнено для каждого. Проверка умножением также покажет, что пропущенный член не восстановился.

Вторая ошибка — делить показатели степеней вместо того, чтобы вычитать их. Например, при x⁵ : x² нельзя вычислять 5 : 2: основания одинаковы, поэтому применяют правило x⁵ : x² = x⁵⁻² = x³. Чтобы проверить себя, умножьте x³ на x²: получится x⁵. Если обратное действие не возвращает исходный одночлен, правило применено неверно.

Третья ошибка — потерять знак минус у члена. Это часто случается, когда отдельно считают коэффициенты и не переписывают знак слагаемого. При делении на положительный одночлен знак сохраняется: −10a² : 5a = −2a. Проверьте, что перед каждым результатом стоит тот же знак, что и у исходного члена.

Четвёртая ошибка — считать ответ многочленом, хотя одному из членов не хватает степени переменной из делителя. Например, в x + 2 выражение нельзя почленно разделить на x так, чтобы получить многочлен: 2 : x потребовало бы отрицательной степени. До вычислений проверьте показатели переменных в каждом слагаемом. Если появляется отрицательная степень, частное не является многочленом по изученным правилам.

Связь с другими темами

Для деления нужно уметь складывать и вычитать многочлены, различать отдельные члены и их коэффициенты. Тогда удобно видеть, какие слагаемые делить и какие знаки переносить в ответ. Знание структуры выражения также помогает не потерять член при записи частного.

Ещё понадобятся умножение и деление одночленов, а также правило степеней с одинаковыми основаниями. Именно оно объясняет, почему при делении показатели вычитают. Проверка умножением связывает новую операцию с уже знакомым обратным действием.

Почленное деление используют при преобразовании алгебраических выражений, сокращении дробей и решении уравнений. Оно позволяет упростить запись, когда каждый член делится на общий одночлен. При этом условие делимости нужно проверять, чтобы преобразование не привело к выражению другого вида.

Что запомнить

• Многочлен делят на одночлен почленно.
• Знак каждого члена при делении сохраняется.
• Коэффициенты делят, показатели одинаковых переменных вычитают.
• Переменные, которых нет в делителе, остаются в частном.
• Для многочлена-частного каждый член делимого должен делиться на делитель.
• Результат можно проверить умножением частного на делитель.