"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Метод выделения полного квадрата превращает квадратный трёхчлен в выражение с квадратом двучлена. Для этого к части с x² и x добавляют число, которое дополняет её до формулы квадрата суммы или разности, и вычитают его, чтобы сохранить значение выражения. Так можно упростить выражения, решать квадратные уравнения, вывести формулу их корней и привести квадратичную функцию к виду, удобному для исследования.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Полный квадрат — выражение вида (a + b)² или (a − b)², которое раскрывается по формуле квадрата суммы или разности. Например, (x + 3)² = x² + 6x + 9. Узнавая такой вид, можно заменить несколько слагаемых компактной записью и упростить дальнейшие вычисления.
Квадратный трёхчлен — выражение ax² + bx + c, где a ≠ 0, а a, b и c — числа. Название объясняется тем, что в выражении обычно три слагаемых, а наибольшая степень переменной равна двум. Такие выражения возникают при решении квадратных уравнений и при работе с квадратичными функциями.
Метод выделения полного квадрата — преобразование квадратного трёхчлена к виду a(x + m)² + n. Часть с x² и x превращают в квадрат двучлена, сохраняя значение всего выражения. Такой вид помогает решать уравнения и видеть, какие значения принимает выражение.
Канонический вид квадратного трёхчлена — представление ax² + bx + c как a(x − h)² + k. Числа h и k показывают, где расположен квадратный трёхчлен относительно переменной x. Эта запись особенно полезна при исследовании графика квадратичной функции и поиске вершины параболы.
Раскроем квадрат суммы: (x + m)² = x² + 2mx + m². Чтобы получить из x² + px такой квадрат, коэффициент при x должен совпасть: 2m = p, значит, m = p/2. Поэтому недостающим слагаемым будет m² = (p/2)²; именно оно завершает формулу квадрата суммы. Для разности рассуждение такое же, только знак среднего члена отрицательный.
Если просто прибавить (p/2)² к выражению, его значение изменится. Чтобы преобразование оставалось равносильным, прибавленное число тут же вычитают: добавленная и вычтенная части взаимно уничтожаются. Например, x² + 6x = x² + 6x + 9 − 9 = (x + 3)² − 9. Так появляется квадрат, но исходное выражение сохраняется.
В выражении ax² + bx + c удобно сначала вынести a из слагаемых с x: ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x) + c. Внутри скобок коэффициент при x равен b/a, поэтому к выражению под квадрат нужно добавить (b/(2a))². Поскольку это число добавляется внутри скобок, оно умножено на a; соответствующее слагаемое снаружи равно b²/(4a). После компенсации получаем a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a). Вынесенный множитель нельзя терять: он умножает весь квадрат.
Чтобы решить квадратное уравнение, преобразуют его так, чтобы квадрат двучлена был равен числу. Например, x² + px + q = 0 превращается в (x + p/2)² = p²/4 − q. Если правая часть положительна, из равенства квадратов следуют два случая: x + p/2 = √(p²/4 − q) или x + p/2 = −√(p²/4 − q). Если она равна нулю, корень один; если отрицательна, действительных корней нет.
Тот же способ работает для ax² + bx + c = 0: выделяем квадрат, переносим оставшееся число и делим обе части на a. Получаем (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²). После извлечения квадратного корня выражаем x и получаем x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a). Подкоренное выражение b² − 4ac называют дискриминантом: его знак показывает, есть ли действительные корни.
В таблице показано, как перейти от выражения к квадрату двучлена или от уравнения к его корням. Двигайся по строке слева направо: выполни указанное преобразование, затем используй полученную форму. В последнем столбце указано, что можно узнать или сделать после этого шага.
| Исходное выражение или уравнение | Что сделать | Полученный вид | Результат |
|---|---|---|---|
| x² + px + q | Прибавить и вычесть (p/2)² | (x + p/2)² + q − p²/4 | Квадратный трёхчлен представлен через полный квадрат |
| ax² + bx + c | Вынести a и выделить полный квадрат в скобках | a(x + b/(2a))² + c − b²/(4a) | Канонический вид |
| x² + px + q = 0 | Перенести свободный член и извлечь квадратный корень | (x + p/2)² = p²/4 − q | Найти два корня при положительной правой части |
| ax² + bx + c = 0 | Привести к виду квадрата и разделить на a | (x + b/(2a))² = (b² − 4ac)/(4a²) | Получить формулу корней и условие существования действительных корней |
Нужно превратить первые два слагаемых в квадрат двучлена. Половина коэффициента 6 равна 3, поэтому добавляем квадрат числа 3 и одновременно вычитаем его. Затем решаем уравнение, извлекая квадратный корень.
Ответ: x = −1 или x = −5. Проверка подстановкой показывает, что в обоих случаях левая часть исходного уравнения равна нулю.
Перед x² стоит коэффициент 2, поэтому сначала вынесем его из слагаемых с x. Внутри скобок получим x² − 4x: половина коэффициента −4 равна −2, и нужное слагаемое равно 4. Следим, чтобы двойка перед скобками умножала и добавленное число.
Ответ: x = 2 + √10/2 или x = 2 − √10/2. Подстановка каждого значения обращает исходную левую часть в ноль.
Вынесем коэффициент 3 из части с x² и x, а затем дополним выражение в скобках до квадрата. Такой способ позволит получить корни напрямую, а после мы проверим их общей формулой. Важно разделить обе части на коэффициент перед квадратом.
Ответ: x = 1 или x = −5/3. По формуле корней D = 2² − 4·3·(−5) = 64, поэтому x = (−2 ± 8)/6, что даёт те же два значения.
Прибавляют число, но не вычитают его. Тогда выражение увеличивается, а значит, преобразование уже не сохраняет исходное значение. Обычно забывают о вычитании, сосредоточившись на получении квадрата. Проверь: раскрыв скобки в новой записи, ты должен получить ровно первоначальное выражение.
Не учитывают вынесенный множитель. Если перед x² стоит a, число, добавленное внутри скобок, тоже умножается на a. Ошибка возникает, когда к выражению снаружи прибавляют лишь (b/(2a))² вместо a(b/(2a))². Проверить себя можно, раскрыв скобки и сравнив свободные члены.
Путают знак квадрата разности. В формуле (a − b)² средний член равен −2ab, а не +2ab. Это часто случается, когда знак внутри скобок не переносят в среднее слагаемое. Раскрой скобки по формуле или проверь пример: (x − 3)² = x² − 6x + 9.
При извлечении корня оставляют только положительный вариант. Из u² = v следует u = √v или u = −√v, поскольку оба числа в квадрате дают v. Один знак теряют, если воспринимают квадратный корень только как неотрицательное число и забывают решить уравнение с ±. Для проверки подставь оба варианта в равенство u² = v.
Для выделения полного квадрата нужны формулы квадрата суммы и разности, умение раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые. Сам метод применяется при решении квадратных уравнений, выводе формулы их корней и записи квадратичной функции в каноническом виде. По канонической записи можно определить вершину параболы и её ось симметрии. Преобразование также пригодится при работе с выражениями, содержащими квадратные корни.
Почему для полного квадрата нужно брать именно половину коэффициента при x?
При раскрытии скобок (x + m)² получается x² + 2mx + m². Чтобы средний член совпал с px, нужно 2m = p, поэтому m = p/2, а добавляемое число равно (p/2)².
Зачем добавлять и тут же вычитать одно и то же число?
Добавление нужного числа создаёт полный квадрат, а вычитание компенсирует это изменение. Поэтому исходное выражение не меняется, но его становится удобнее преобразовать.
Что делать, если перед x² стоит коэффициент, отличный от единицы?
Сначала вынеси коэффициент a перед скобками: ax² + bx + c = a(x² + (b/a)x) + c. Затем выделяй квадрат внутри скобок, учитывая, что коэффициент при x там равен b/a.
Почему при извлечении квадратного корня появляются два значения?
Потому что числа √v и −√v при возведении в квадрат дают одно и то же число v. Поэтому из u² = v при v ≥ 0 следует u = ±√v.
Чем метод выделения полного квадрата связан с формулой корней?
Если применить метод к ax² + bx + c = 0, получится равенство квадрата выражения числу (b² − 4ac)/(4a²). Извлечение корня даёт оба корня уравнения и формулу x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a).
§25. Метод выделения полного квадрата
