"Алгебра (углублённый уровень) (в 2 частях)", Мордкович А.Г., Николаев Н.П.
Формулы сокращённого умножения — это тождества, которые помогают быстро раскрывать скобки и раскладывать многочлены на множители. Они заменяют длинное умножение готовыми правилами: квадрат суммы даёт три слагаемых, разность квадратов превращается в произведение, а кубы раскладываются на сумму или разность и трёхчленный многочлен. Главное — научиться узнавать вид выражения, правильно выбирать знаки и применять формулу не только слева направо, но и справа налево.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Формулы сокращённого умножения — это тождества, позволяющие быстро раскрывать скобки и раскладывать многочлены на множители. Тождество верно при любых допустимых значениях букв. Такие формулы сокращают вычисления и помогают увидеть строение выражения.
Квадрат суммы — тождество (a + b)² = a² + 2ab + b². В правой части есть квадраты каждого слагаемого и удвоенное произведение этих слагаемых. Формула нужна, чтобы заменить квадрат скобки многочленом.
Квадрат разности — тождество (a − b)² = a² − 2ab + b². Средний член отрицателен, но последний член b² остаётся положительным. Это правило помогает не ошибиться при раскрытии скобок с минусом.
Разность квадратов — тождество a² − b² = (a − b)(a + b). Разность двух квадратов превращается в произведение суммы и разности тех же выражений. Формула удобна для разложения многочлена на множители.
Сумма и разность кубов — тождества a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) и a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Первый множитель повторяет знак между кубами, а трёхчленный множитель имеет специальный порядок знаков. Эти формулы применяют для разложения выражений третьей степени.
Квадрат суммы выводится из определения степени: (a + b)² = (a + b)(a + b). Раскроем скобки: a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ab + b². Два одинаковых слагаемых ab дают 2ab, поэтому получается a² + 2ab + b².
Квадрат разности строится так же: (a − b)² = (a − b)(a − b). После умножения получаем a² − ab − ba + b², а два средних слагаемых объединяются в −2ab. Последний член положителен, потому что (−b)(−b) = b².
Знак среднего члена определяется знаками двух перекрёстных произведений. В квадрате суммы оба произведения положительны, поэтому возникает +2ab, а в квадрате разности оба отрицательны, поэтому возникает −2ab. Квадраты крайних слагаемых не меняют знак.
Разность квадратов можно получить умножением суммы на разность: (a + b)(a − b) = a² − ab + ab − b² = a² − b². Средние произведения уничтожаются, и остаётся разность квадратов. Для суммы квадратов такого сокращения нет: a² + b² над действительными числами обычно не раскладывается на множители.
Формулы кубов проверяются обычным раскрытием скобок. Например, (a + b)(a² − ab + b²) даёт a³ − a²b + ab² + a²b − ab² + b³, поэтому промежуточные слагаемые сокращаются. При разности кубов аналогично получается a³ − b³, а знак среднего члена внутри второго множителя становится положительным.
| Выражение | Формула | Куда применять |
|---|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² | Раскрыть квадрат суммы |
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² | Раскрыть квадрат разности |
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b) | Разложить на множители |
| Сумма кубов | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) | Разложить сумму кубов |
| Разность кубов | a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) | Разложить разность кубов |
Сначала определи, какой вид имеет выражение в левой части формулы. Затем подставь вместо a и b нужные одночлены, внимательно сохраняя знаки.
Формулы работают в обоих направлениях. Если выражение записано со скобками, их можно раскрыть, а если видны квадраты или кубы, многочлен можно представить как произведение.
В скобках стоит сумма двух слагаемых, значит, подходит формула квадрата суммы. Здесь a = 3x, а b = 2. Нужно отдельно найти квадраты слагаемых и удвоенное произведение.
Ответ: 9x² + 12x + 4.
Оба слагаемых являются квадратами: 25a² = (5a)², а 16b² = (4b)². Между ними стоит минус, поэтому это разность квадратов. Применяем формулу a² − b² = (a − b)(a + b).
Ответ: (5a − 4b)(5a + 4b).
Раскроем каждый куб по отдельности, потому что после этого можно привести подобные слагаемые. Для первого выражения используется куб суммы, для второго — куб разности. Знаки в формулах нужно сохранить до конца вычислений.
Ответ: 12x² + 16.
Ошибка: записывать (a + b)² = a² + b² и забывать 2ab. Так делают, когда возводят в квадрат каждое слагаемое отдельно, не раскрывая произведение скобок. Проверка проста: в квадрате суммы должны быть три слагаемых, включая удвоенное произведение.
Ошибка: писать в формуле квадрата разности последний член −b². Минус относится к двум перекрёстным произведениям, а не к квадрату второго слагаемого. Проверь знак через правило (−b)(−b) = b².
Ошибка: путать a² − b² и (a − b)². В первом выражении нет среднего члена, а во втором он равен −2ab. Чтобы проверить себя, посмотри, есть ли у скобки квадрат.
Ошибка: неверно выбирать знак среднего члена в формулах кубов. В сумме кубов второй множитель имеет вид a² − ab + b², а в разности кубов — a² + ab + b². Раскрой скобки обратно и убедись, что промежуточные слагаемые сокращаются.
До изучения формул нужно уметь раскрывать скобки, умножать одночлены и многочлены, возводить одночлен в степень и приводить подобные слагаемые. Эти действия объясняют, откуда берутся все члены тождеств и позволяют проверять результат.
Формулы нужны при преобразовании алгебраических выражений и разложении многочленов на множители. Они также упрощают решение уравнений: после преобразований можно получить более знакомое произведение или многочлен.
Почему в квадрате суммы появляется слагаемое 2ab?
При умножении (a + b)(a + b) два раза возникают одинаковые произведения ab: первое получается из a · b, второе — из b · a. Поэтому после сложения появляется 2ab.
Почему в квадрате разности последний член положительный?
Последний член получается при умножении (−b) на (−b). Произведение двух отрицательных чисел положительно, поэтому (−b)² = b².
Чем разность квадратов отличается от квадрата разности?
Разность квадратов имеет вид a² − b² и раскладывается как (a − b)(a + b). Квадрат разности — это (a − b)² = a² − 2ab + b², то есть совсем другое выражение.
Как понять, какую формулу сокращённого умножения применить?
Сначала посмотри на внешний вид выражения: есть ли квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов или сумма либо разность кубов. Затем проверь, совпадают ли степени и знаки с формулой.
Можно ли разложить сумму квадратов на множители по формуле разности квадратов?
Нет, формула разности квадратов относится к выражению a² − b², а не к a² + b². Над действительными числами сумма квадратов обычно не раскладывается на множители по этой формуле.
§ 24. Формулы сокращенного умножения
