§23. Умножение многочлена на многочлен

Определения и обозначения

Произведение многочленов — результат умножения каждого одночлена первого многочлена на каждый одночлен второго. Например, в произведении (a + b)(c + d) нужно получить четыре произведения: ac, ad, bc и bd. Такое определение помогает не потерять ни одно слагаемое при раскрытии скобок. Оно задаёт общий способ действий, даже если в скобках не два, а больше членов.

Умножение многочлена на многочлен — действие, выполняемое по распределительному закону относительно сложения. Распределительный закон позволяет умножить выражение на сумму: множитель умножается на каждое слагаемое. Например, a(b + c) = ab + ac. Это правило нужно, чтобы заменить произведение скобок суммой произведений одночленов.

Стандартный вид произведения — запись результата после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых. Подобные слагаемые имеют одинаковую буквенную часть с теми же степенями, поэтому их можно объединить, сложив коэффициенты. Например, 2x² + 3x² можно записать как 5x². Стандартная запись делает ответ короче и помогает увидеть его слагаемые.

Как это устроено

Каждый член первого многочлена должен умножиться на каждый член второго, потому что оба многочлена представляют собой суммы. Умножение суммы на сумму можно выполнить, сначала умножив каждое слагаемое одной суммы на всю другую сумму, а затем раскрыть оставшиеся скобки. Если пропустить хотя бы одну пару, часть исходного произведения исчезнет. Например, в (a + b)(c + d) член a умножается и на c, и на d, а член b — также на оба слагаемых.

Распределительный закон превращает произведение многочленов в сумму произведений одночленов. В записи (a + b)(c + d) сначала можно распределить множитель (a + b): получится (a + b)c + (a + b)d. Применив закон ещё раз, получим ac + bc + ad + bd. Значит, правило умножения многочленов не новое отдельное действие, а последовательное применение уже знакомого распределительного закона.

Чтобы организовать вычисления, выбери один многочлен и по очереди умножай каждый его член на все члены второго. Записывай результаты группами или строками: так видно, какие пары уже обработаны. Для двучленов получаются четыре произведения, для трёхчлена и двучлена — шесть. Такой порядок снижает риск пропуска и помогает отдельно проверить вычисления в каждой группе.

После раскрытия скобок могут появиться слагаемые с одинаковыми буквами и степенями. Их объединяют, складывая коэффициенты с учётом знаков: например, 5x − 2x = 3x. Это не меняет значения выражения, потому что складываются одинаковые по буквенной части слагаемые. Если оставить их отдельно, равенство будет верным, но ответ не будет приведён к стандартному виду.

Проверка по степеням, знакам и количеству слагаемых помогает заметить ошибки. В произведении одночленов коэффициенты перемножают, а показатели степеней одинаковых переменных складывают; знак определяют отдельно по правилам умножения чисел. До приведения подобных слагаемых число полученных произведений должно совпадать с числом всех пар членов. После объединения одинаковых степеней может стать меньше слагаемых, поэтому проверяй не только их количество, но и сам ход умножения.

Алгоритмы умножения многочленов

Найди в таблице ситуацию, похожую на своё выражение, и используй указанное действие. В каждом случае сначала получи все произведения, а затем проверь, можно ли объединить какие-либо слагаемые. Если многочлены записаны в обратном порядке, правило остаётся тем же.

Разбор задач

Одночлен на многочлен

Выполним умножение: 3x(2x² − 5x + 4). Множитель 3x нужно распределить на все три слагаемых в скобках. При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножаются, а показатели x складываются. В конце проверим знаки и запишем результат.

1. Умножим 3x на первое слагаемое: 3x · 2x² = 6x³.
2. Умножим на второе: 3x · (−5x) = −15x².
3. Умножим на третье: 3x · 4 = 12x.
4. Запишем все результаты: 6x³ − 15x² + 12x. Подобных слагаемых нет.

Ответ: 6x³ − 15x² + 12x.

Произведение двух двучленов

Раскроем скобки и упростим: (x + 3)(x − 4). У первого двучлена два члена, и каждый из них должен умножиться на оба члена второго. Поэтому сначала выпишем четыре произведения, а потом объединим слагаемые с одинаковой степенью x. Особенно внимательно отнесёмся к знаку произведения 3 · (−4).

1. Умножим x на каждый член второй скобки: x · x = x², x · (−4) = −4x.
2. Умножим 3 на оба члена: 3 · x = 3x, 3 · (−4) = −12.
3. Соберём результаты: x² − 4x + 3x − 12.
4. Приведём подобные слагаемые: −4x + 3x = −x. Получим x² − x − 12.

Ответ: x² − x − 12.

Произведение трёхчленов

Упростим выражение (2x² − 3x + 1)(x² + 2x − 5). В каждом многочлене по три члена, значит, нужно получить девять попарных произведений. Удобно умножить каждый член первой скобки на всю вторую, а затем сгруппировать результаты по степеням x. Так проще не пропустить слагаемые и проверить знаки.

1. Умножим 2x² на вторую скобку: получим 2x⁴ + 4x³ − 10x².
2. Умножим −3x на вторую скобку: получим −3x³ − 6x² + 15x.
3. Умножим 1 на вторую скобку: получим x² + 2x − 5.
4. Запишем сумму результатов и соберём подобные: 2x⁴ + (4x³ − 3x³) + (−10x² − 6x² + x²) + (15x + 2x) − 5.
5. Вычислим коэффициенты: 2x⁴ + x³ − 15x² + 17x − 5.

Ответ: 2x⁴ + x³ − 15x² + 17x − 5.

Типичные ошибки

Ошибка: умножить только первые или крайние члены скобок. Так происходит, когда забывают, что распределительный закон требует учесть каждую пару членов. Проверь, что для двух двучленов записаны четыре произведения, а для трёхчлена и двучлена — шесть. Если произведений меньше, часть слагаемых потеряна.

Ошибка: неверно поставить знак при раскрытии скобок. Особенно часто это случается, когда умножают отрицательное число на положительное или на отрицательное. Перед вычислением отдельно определи знак: у множителей с разными знаками произведение отрицательное, с одинаковыми — положительное. Затем проверь знак каждого слагаемого в записи.

Ошибка: неправильно умножить одночлены — сложить коэффициенты вместо их умножения или сложить не те показатели степеней. Например, 3x · 2x² = 6x³: коэффициенты дают 6, а показатели 1 и 2 складываются. Проверь числовую и буквенную части отдельно. Для разных переменных показатели складывают только у одинаковых букв.

Ошибка: оставить подобные слагаемые раздельно и не привести ответ к стандартному виду. Обычно так бывает, если после раскрытия скобок считают вычисления законченными. Найди слагаемые с одинаковой буквенной частью и сложи их коэффициенты с учётом знаков. В конце расположи оставшиеся члены по убыванию степеней.

Связь с другими темами

Чтобы умножать многочлены, нужно уметь применять распределительный закон, перемножать одночлены, соблюдать правила действий с положительными и отрицательными числами и приводить подобные слагаемые. Если эти навыки уже отработаны, раскрытие скобок сводится к последовательному выполнению знакомых действий. Умножение многочленов пригодится при разложении выражений на множители, преобразовании алгебраических выражений и доказательстве тождеств. В этих задачах оно помогает перейти от произведения к сумме или подготовить выражение к дальнейшему преобразованию.

Что запомнить

• При умножении многочленов каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого.
• Основа правила — распределительный закон.
• При умножении одночленов перемножают коэффициенты и складывают показатели степеней одинаковых переменных.
• Знаки произведений определяют по правилам умножения положительных и отрицательных чисел.
• После раскрытия скобок нужно привести подобные слагаемые.
• Результат обычно записывают в стандартном виде, располагая члены по убыванию степеней.