§22. Умножение многочлена на одночлен

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел и переменных, возведённых в неотрицательные целые степени. Например, 4x²y и −3a — одночлены, а число 7 тоже считается одночленом. Это понятие помогает увидеть, какие части выражения нужно перемножать.

Многочлен — сумма одночленов, например 2x² − 3x + 5. Его слагаемые могут иметь разные знаки: знак минус перед членом означает, что он отрицательный. Представление выражения как суммы нужно, чтобы применять к нему распределительное свойство.

Умножение многочлена на одночлен — действие, при котором одночлен умножают на каждое слагаемое многочлена. Например, в выражении 2(x + 3) множитель 2 относится и к x, и к 3. Такое понимание не даёт потерять часть суммы при раскрытии скобок.

Коэффициент одночлена — его числовой множитель: в −5x² коэффициент равен −5, а в x коэффициент равен 1. При умножении одночленов коэффициенты перемножают. Это позволяет отдельно работать с числами и буквенной частью, а затем собрать результат.

Как это устроено

Правило умножения многочлена на одночлен следует из распределительного свойства: множитель перед скобками умножается на каждое слагаемое внутри них. Например, 3(a + b) означает три суммы a + b, поэтому результат равен 3a + 3b. Если оставить множитель только у первого слагаемого, равенство нарушится.

Когда одночлен умножают на одночлен, сначала перемножают их числовые коэффициенты. Для одинаковых переменных используют правило степеней: x² · x³ = x · x · x · x · x = x⁵, поэтому показатели складываются. Буквы, которые различаются, остаются отдельными множителями, например x²y · 3x = 3x³y.

Знак каждого произведения определяют отдельно по правилам умножения чисел. Если множитель перед скобками отрицательный, он меняет знак каждого слагаемого: −2(a − b) = −2a + 2b. При положительном множителе знаки внутри скобок сохраняются, потому что положительное число не меняет знак множимого.

После раскрытия скобок иногда можно привести подобные слагаемые. Подобными называют слагаемые с одинаковой буквенной частью, например 4x и −x; их коэффициенты складывают, получая 3x. Это действие выполняют после умножения, чтобы не объединить члены, которые ещё не стали подобными.

Если у многочлена несколько слагаемых, множитель нужно распределить на каждое из них, не меняя порядок действий. Удобно мысленно провести отдельную стрелку от одночлена к каждому слагаемому и записать произведения по очереди. Так легче проверить, что ни один член суммы не пропущен и знак каждого учтён.

Умножение одночлена на многочлен: правило и этапы

Пользуйся таблицей как порядком действий: сначала распредели множитель, затем вычисли каждое произведение и проверь знаки. Приведение подобных слагаемых выполняй в конце, если оно требуется. Примеры показывают отдельные шаги, которые могут встретиться в одном выражении.

Разбор задач

Раскройте скобки: 3x(2x + 5).

В скобках два слагаемых, поэтому множитель 3x нужно применить к обоим. В каждом произведении число умножаем на число, а одинаковые буквы — по правилу степеней. Здесь знаки положительные, значит оба слагаемых результата будут со знаком плюс.

1. Умножаем 3x на первое слагаемое: 3x · 2x = 6x².
2. Умножаем 3x на второе слагаемое: 3x · 5 = 15x.
3. Записываем оба результата в исходном порядке: 6x² + 15x.

Ответ: 6x² + 15x.

Раскройте скобки и упростите: −2a(3a² − 4a + 1).

Отрицательный множитель умножается на каждый член, поэтому сначала следим за знаком каждого произведения. Буквы a при умножении соединяются, а показатели одинакового основания складываются. Последний член содержит только число, поэтому в его результате остаётся a в первой степени.

1. Умножаем на первое слагаемое: −2a · 3a² = −6a³.
2. Умножаем на второе: −2a · (−4a) = 8a², так как произведение двух отрицательных чисел положительно.
3. Умножаем на третье: −2a · 1 = −2a.
4. Записываем результаты: −6a³ + 8a² − 2a. Подобных слагаемых здесь нет.

Ответ: −6a³ + 8a² − 2a.

Упростите выражение: 3x(2x − 1) − 2x(x + 4) + 5x.

Здесь две пары скобок, и умножение нужно выполнить в каждой из них. Перед второй парой стоит множитель −2x, поэтому он распределяется на оба слагаемых со своим знаком. Лишь после раскрытия скобок можно объединить члены с одинаковой буквенной частью.

1. Раскрываем первые скобки: 3x(2x − 1) = 6x² − 3x.
2. Раскрываем вторые: −2x(x + 4) = −2x² − 8x.
3. Подставляем результаты: 6x² − 3x − 2x² − 8x + 5x.
4. Приводим подобные: 6x² − 2x² = 4x², а −3x − 8x + 5x = −6x.

Ответ: 4x² − 6x.

Типичные ошибки

Иногда одночлен умножают только на первое слагаемое, воспринимая скобки как единое целое. Так происходит, если не замечать, что внутри стоит сумма. Проверь себя: рядом с каждым слагаемым в раскрытой записи должен быть результат его умножения на внешний множитель.

При умножении степеней одинаковой переменной некоторые перемножают показатели, например ошибочно считают x² · x³ равным x⁶. Путаница возникает из-за смешения правила умножения степеней с другими действиями. Проверь результат, записав степени как повторяющиеся множители: получится пять букв x, то есть x⁵.

Ещё одна ошибка — неверный знак, особенно когда перед скобками стоит минус. Часто знак меняют только у первого члена или не замечают, что произведение двух отрицательных чисел положительно. Для проверки определи знак каждой пары множителей отдельно, а затем сравни его с записанным результатом.

Нельзя складывать показатели степеней у разных переменных или объединять неподобные слагаемые. Например, x²y и xy² имеют разные буквенные части, поэтому их нельзя сложить в один член. Сравни буквы и показатели: объединяй слагаемые только тогда, когда буквенная часть совпадает полностью.

Связь с другими темами

Для умножения многочлена на одночлен нужны распределительное свойство, правила знаков и умножение степеней с одинаковым основанием. Если эти правила знакомы, раскрытие скобок становится последовательностью простых умножений. Полезно повторить их, если в вычислениях возникают ошибки со знаками или показателями.

Этот приём используют при раскрытии скобок и упрощении алгебраических выражений. Он также помогает выполнять дальнейшие преобразования многочленов: сначала получают сумму одночленов, а затем при необходимости приводят подобные. Поэтому аккуратное распределение множителя пригодится во многих следующих задачах.

Что запомнить

• Одночлен умножают на каждое слагаемое многочлена.
• Распределительное свойство задаёт правило умножения на многочлен.
• Коэффициенты одночленов перемножают.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• Знак каждого произведения проверяют отдельно.
• После раскрытия скобок подобные слагаемые можно привести.