§ 31. Умножение многочлена на одночлен

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел, переменных и их степеней: например, −3a²b. Число −3 называют коэффициентом, а буквы с показателями — буквенной частью. При умножении одночленов коэффициенты перемножают, а показатели степеней одинаковых букв складывают: a² · a³ = a⁵. Это понадобится при вычислении каждого отдельного произведения.

Многочлен — это сумма одночленов, например 4x² − 3x + 7. Его слагаемыми являются 4x², −3x и 7, причём знак минус относится к соответствующему слагаемому. Поэтому многочлен можно рассматривать как сумму, в которой каждый член разрешается умножать отдельно. Такой взгляд помогает правильно раскрывать скобки.

Умножение многочлена на одночлен — это действие, при котором одночлен умножают на каждое слагаемое многочлена. Например, в выражении 2x(a + b − 3) множитель 2x нужно применить к a, b и −3. Результатом становится сумма нескольких произведений.

Распределительное свойство умножения записывают так: a(b + c) = ab + ac. Оно показывает, что множитель перед скобками относится не к одному, а ко всем слагаемым внутри. Именно это свойство объясняет правило умножения многочлена на одночлен.

Как это устроено

Многочлен можно представить как сумму своих слагаемых: P = A + B + C. Если умножить его на одночлен M, получим M(A + B + C). По распределительному свойству множитель M распределяется между всеми слагаемыми: M·A + M·B + M·C. Поэтому пропуск хотя бы одного члена меняет всё выражение и даёт неверный результат.

Смысл правила можно увидеть на обычных числах: 3(4 + 2) = 3·4 + 3·2. С многочленами происходит то же самое, только вместо чисел могут стоять буквенные выражения. Каждый член скобок образует отдельную пару с одночленом вне скобок. Получившиеся произведения затем складываются.

Внутри каждого произведения сначала удобно перемножить коэффициенты. Затем объединяют степени одинаковых переменных: 2a² · 3a³ = 6a⁵, потому что a² · a³ = a⁵. Переменные с разными основаниями не смешивают: например, a²b и a³ остаются частью одного произведения как a⁵b. Такой порядок уменьшает количество ошибок.

Знак также рассматривается в каждом произведении отдельно. Если отрицательный одночлен умножается на положительное слагаемое, результат отрицателен, а при умножении на отрицательное слагаемое получается плюс. После раскрытия скобок некоторые одночлены могут оказаться подобными, например 6x² и −2x². Тогда их коэффициенты складывают, сохраняя общую буквенную часть.

Порядок умножения многочлена на одночлен

Пользуйтесь таблицей как коротким алгоритмом: сначала не пропускайте слагаемые, затем упрощайте каждое произведение. Знак слагаемого учитывайте сразу, а подобные члены объединяйте только после раскрытия скобок.

Разбор задач

Задача 1. Выполнить умножение: 3x(2x + 5). Здесь многочлен имеет два слагаемых, поэтому одночлен 3x нужно применить к обоим. После этого в первом произведении объединится x с x.

1. Раскроем скобки по распределительному свойству: 3x · 2x + 3x · 5.
2. Вычислим произведения: 3x · 2x = 6x², а 3x · 5 = 15x.
3. Запишем результат: 6x² + 15x.

Ответ: 6x² + 15x.

Задача 2. Выполнить умножение: −2a²(3a − 4b + 1). Отрицательный множитель нужно умножить на каждый из трёх членов, причём знак −4b уже принадлежит второму слагаемому.

1. Получим три произведения: −2a² · 3a + (−2a²) · (−4b) + (−2a²) · 1.
2. Вычислим их: −6a³, 8a²b и −2a². Во втором произведении знак положительный, потому что перемножаются два отрицательных числа.
3. Соединим результаты в сумму: −6a³ + 8a²b − 2a².

Ответ: −6a³ + 8a²b − 2a².

Задача 3. Упростить выражение: 2x(3x − 1) − x(4x + 5). Сначала раскроем обе скобки, затем учтём минус перед вторым произведением и найдём подобные слагаемые.

1. Раскрываем первую скобку: 2x(3x − 1) = 6x² − 2x.
2. Раскрываем вторую: x(4x + 5) = 4x² + 5x, поэтому перед всей этой суммой получаем −4x² − 5x.
3. Складываем: 6x² − 2x − 4x² − 5x = 2x² − 7x.

Ответ: 2x² − 7x.

Типичные ошибки

Первая ошибка — умножить одночлен только на первое слагаемое в скобках. Так происходит, если ученик воспринимает скобки как один отдельный множитель. Проверьте себя: мысленно обведите каждое слагаемое и поставьте напротив него отдельное произведение.

Вторая ошибка — потерять знак слагаемого или множителя. Отрицательный знак относится ко всему одночлену, а не только к его числовой части. Для проверки определите знак каждого произведения отдельно по правилу знаков.

Третья ошибка — перемножить показатели степеней вместо их сложения. При умножении a² · a³ получается a⁵, а не a⁶. Можно проверить результат, раскрыв степени как произведение одинаковых множителей.

Четвёртая ошибка — складывать показатели у разных переменных или объединять неподобные слагаемые. Степени складывают только у одинаковых оснований, а складывать между собой можно только одночлены с одинаковой буквенной частью. Сверьте буквы и их показатели перед приведением подобных.

Связь с другими темами

До этой темы нужно знать распределительное свойство умножения, правила действий с положительными и отрицательными числами и умножение одночленов. Без этих правил трудно правильно обработать знаки, коэффициенты и степени. Если один из шагов вызывает сомнение, сначала повторите его отдельно.

Умножение многочлена на одночлен используется при упрощении алгебраических выражений и решении уравнений. Оно помогает раскрывать скобки и приводить выражение к более удобному виду. Позже тот же способ рассуждения понадобится при других преобразованиях многочленов.

Что запомнить

• Одночлен умножают на каждое слагаемое многочлена.
• Умножение многочлена на одночлен основано на распределительном свойстве.
• Знак каждого произведения учитывают отдельно.
• Коэффициенты перемножают.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• После умножения приводят подобные слагаемые, если они есть.