§ 22. Умножение многочлена на одночлен

Определения и обозначения

Одночлен — это произведение чисел и переменных, возведённых в неотрицательные целые степени. Например, 4x²y и −3ab — одночлены. Числовой множитель называют коэффициентом: в −3ab коэффициент равен −3, и он показывает числовую часть выражения.

Многочлен — сумма одночленов, например 2x² − 3x + 1. Отдельные слагаемые такой суммы называют членами многочлена: в примере это 2x², −3x и 1. Понимание состава многочлена помогает не пропустить ни одно слагаемое при умножении.

Умножение многочлена на одночлен — это умножение одночлена на каждый член многочлена с последующим сложением полученных произведений. Например, в выражении 2(x + 3) множитель 2 должен быть применён и к x, и к 3. Это определение подсказывает порядок действий при раскрытии скобок.

Распределительное свойство умножения относительно сложения — правило, по которому множитель перед скобками умножают на каждое слагаемое внутри скобок. Оно записывается так: a(b + c) = ab + ac. Это свойство позволяет заменить произведение со скобками суммой более простых произведений.

Как это устроено

Правило умножения многочлена на одночлен следует из распределительного свойства: a(b + c) = ab + ac. Если слагаемых больше двух, рассуждение повторяется: сначала распределяют множитель между двумя частями суммы, затем раскрывают оставшиеся скобки. Поэтому каждый член многочлена получает множитель, а результаты соединяются знаками исходной суммы.

Каждое полученное произведение считают как произведение одночленов. Сначала перемножают числовые коэффициенты, затем переменные с одинаковыми основаниями записывают с общей степенью. Показатели складывают, потому что степени означают повторное умножение: x² · x³ — это пять множителей x, то есть x⁵.

Знак одночлена-множителя участвует в каждом произведении, а не только в первом. Например, положительный множитель сохраняет знак каждого члена, а отрицательный меняет его на противоположный. Если внутри скобок есть разность, её второй член уже имеет знак минус, поэтому нужно применять правила знаков к каждому произведению отдельно.

После раскрытия скобок иногда возникают подобные слагаемые. Подобными называют слагаемые с одинаковой буквенной частью и теми же показателями степеней, например 5x² и −2x². Их можно заменить одним слагаемым, сложив коэффициенты; выражения с разной буквенной частью объединять нельзя.

Проверка помогает заметить пропуск или ошибку в знаке. Сосчитай члены исходного многочлена и сопоставь каждому отдельное произведение с одночленом. Затем проверь в каждом произведении знак, коэффициент и показатели переменных, а после упрощения убедись, что объединены только подобные слагаемые.

Правила умножения одночлена на многочлен

Пользуйся таблицей по порядку: сначала выбери случай, затем выполни указанное действие. В примерах показаны знаки и степени, на которые особенно легко не обратить внимания. Если в выражении встретилось несколько случаев, сначала раскрой скобки, а потом приведи подобные слагаемые.

Разбор задач

Задача 1. Раскройте скобки: 3x(2x + 5). В скобках два члена, поэтому нужно получить два произведения. Сначала применим множитель 3x к каждому из них.

1. Умножаем 3x на первый член: 3x · 2x = 6x².
2. Умножаем 3x на второй член: 3x · 5 = 15x.
3. Соединяем произведения знаком исходной суммы: 6x² + 15x.

Ответ: 6x² + 15x. Слагаемые не подобны, поэтому объединить их нельзя.

Задача 2. Раскройте скобки и упростите: −2a²(3a − 4b + 1). Здесь три члена, и каждый нужно умножить на отрицательный одночлен. Особенно внимательно проверим знаки и степень переменной a в первом произведении.

1. Умножаем на 3a: −2a² · 3a = −6a³, так как 2 · 3 = 6, а показатели a складываются.
2. Умножаем на −4b: −2a² · (−4b) = 8a²b, потому что произведение двух отрицательных чисел положительное.
3. Умножаем на 1: −2a² · 1 = −2a²; записываем все результаты с учётом знаков.

Ответ: −6a³ + 8a²b − 2a². Подобных слагаемых здесь нет.

Задача 3. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые: 2x(3x − 4) − 3(2x² − x + 5). В выражении два произведения, причём перед вторыми скобками стоит отрицательный множитель −3. Раскрываем каждое произведение полностью и только после этого собираем подобные слагаемые.

1. Раскрываем первые скобки: 2x(3x − 4) = 6x² − 8x.
2. Умножаем −3 на каждый член вторых скобок: −3(2x² − x + 5) = −6x² + 3x − 15.
3. Записываем общую сумму: 6x² − 8x − 6x² + 3x − 15.
4. Объединяем подобные: 6x² − 6x² = 0, а −8x + 3x = −5x. Получаем −5x − 15.

Ответ: −5x − 15. Члены с x² сократились, потому что их коэффициенты противоположны.

Типичные ошибки

Иногда одночлен умножают только на первый член многочлена. Так происходит, когда раскрывающий скобки торопится и не проверяет оставшиеся слагаемые. Сосчитай члены в скобках и сверь: для каждого должно быть записано отдельное произведение.

Другая ошибка — забыть отрицательный знак у множителя или перед скобками. Тогда неверный знак переносится в результат и может изменить все вычисления. Для проверки выпиши знак каждого множителя отдельно: одинаковые знаки дают плюс, разные — минус.

При умножении степеней с одинаковым основанием иногда перемножают показатели вместо того, чтобы сложить их. Например, ошибочно считать x² · x³ равным x⁶; верно x⁵, поскольку всего перемножаются пять множителей x. Проверь себя, разложив степени на множители или вспомнив правило xᵐ · xⁿ = xᵐ⁺ⁿ.

После раскрытия скобок можно оставить подобные слагаемые несобранными или сложить неподобные. Первая запись не упрощена, а во втором случае меняется значение выражения. Сравни буквенные части и показатели: объединяй только совпадающие, складывая их коэффициенты.

Связь с другими темами

Для умножения многочлена на одночлен нужны распределительное свойство, правила знаков и умение умножать одночлены. Если эти действия знакомы, раскрытие скобок сводится к последовательному применению уже изученных правил. При сомнении вычисляй каждое произведение отдельно.

Этот приём используют при раскрытии скобок и упрощении алгебраических выражений, а также при решении уравнений. Он помогает заменить выражение со скобками суммой отдельных слагаемых, с которой часто удобнее работать. Поэтому важно уметь не только раскрывать скобки, но и приводить подобные слагаемые.

Дальше тот же принцип понадобится при умножении многочленов: каждый член одного выражения нужно будет умножать на члены другого. Умножение на одночлен также подготавливает к разложению выражений на множители — обратному действию, при котором общий множитель выносят за скобки.

Что запомнить

• Одночлен умножают на каждый член многочлена.
• При умножении одночленов числовые коэффициенты перемножают.
• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают.
• Знак множителя учитывают отдельно для каждого произведения.
• После раскрытия скобок приводят подобные слагаемые.
• Перед записью ответа проверьте, что ни один член многочлена не пропущен.