"Алгебра", Алимов Ш.А.
Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и сложить полученные произведения. Это правило помогает раскрывать скобки и упрощать алгебраические выражения. При вычислениях перемножают коэффициенты с учётом знаков, а показатели степеней складывают только у степеней с одинаковым основанием. После раскрытия скобок при необходимости приводят подобные слагаемые.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Одночлен — это произведение чисел и переменных, возведённых в неотрицательные целые степени. Например, −3a²b и 5x — одночлены. Числовой множитель одночлена называют коэффициентом: в выражении −3a²b коэффициент равен −3. Понятие одночлена нужно, чтобы видеть, какие части выражения можно перемножить по отдельным правилам.
Многочлен — сумма одночленов. Например, 2x² − 3x + 5 состоит из трёх одночленов: 2x², −3x и 5. Слагаемые могут иметь как знак плюс, так и знак минус; знак относится к самому слагаемому. Это определение помогает разложить выражение в скобках на части, с которыми дальше выполняют умножение.
Умножение многочлена на одночлен — действие, при котором каждый член многочлена умножают на данный одночлен, а полученные произведения складывают. Запись a(b + c) означает ab + ac, а не только произведение a на первый член b. Это правило позволяет раскрывать скобки и преобразовывать выражения так, чтобы их было удобнее вычислять или сравнивать.
Правило умножения многочлена на одночлен следует из распределительного свойства умножения относительно сложения: a(b + c) = ab + ac. Сумму внутри скобок можно представить как несколько слагаемых, каждое из которых умножается на один и тот же множитель. Например, 3(2 + 4) = 3 · 2 + 3 · 4. Именно поэтому при работе с многочленом мы не вводим новое действие, а применяем уже знакомое свойство.
Умножать нужно каждый член, потому что многочлен — это сумма всех своих слагаемых, а множитель относится ко всей сумме. Если в выражении 2(x + 3) умножить 2 только на x, получится 2x + 3, хотя исходное значение равно 2x + 6. Проверка на x = 1 это показывает: исходное выражение даёт 8, а ошибочное — 5. Значит, пропущенный множитель меняет значение выражения.
Каждый член перемножают по отдельности. Сначала умножают числовые коэффициенты, учитывая знаки, затем переменные: при одинаковом основании показатели степеней складывают, потому что множители можно записать подряд. Например, 2x² · 3x = 6x³, а 2a² · 3b = 6a²b. Минус при умножении тоже учитывают: отрицательное число на положительное даёт отрицательное, а два отрицательных множителя дают положительное произведение.
После раскрытия скобок иногда возникают подобные слагаемые — одночлены с одинаковой буквенной частью. Их можно объединить, потому что фактически это одинаковые множители, взятые разное число раз: 3x + 2x = 5x. Например, в выражении 2x(x + 1) + 3x² появятся два слагаемых с x², которые можно сложить. Сначала раскройте скобки, а затем проверьте, есть ли одинаковые буквенные части.
Результат можно проверить двумя способами. При обратной проверке вынесите общий одночлен за скобки: например, 6x² + 15x должно снова дать 3x(2x + 5). Можно также подставить одно и то же простое значение переменной в исходное и полученное выражения и сравнить значения. Совпадение подтверждает вычисления, хотя для полной уверенности полезно проверить и знаки, и степени отдельно.
В таблице показаны типичные ситуации и то, на что нужно обратить внимание в каждой из них. Сначала определите знаки и состав множителей, затем умножьте одночлен на каждый член скобок. Используйте последний столбец как образец порядка действий, а не как замену проверке вычислений.
| Ситуация | Действие | Пример |
|---|---|---|
| Одночлен умножается на сумму одночленов | Умножить на каждое слагаемое, результаты сложить | 2(x + 3) = 2x + 6 |
| Одночлен умножается на разность одночленов | Умножить на оба члена, сохранить знак второго | 3(a − 2) = 3a − 6 |
| Умножение коэффициентов и степеней одинаковых переменных | Перемножить коэффициенты, показатели одинаковых оснований сложить | 2x² · 3x = 6x³ |
| Приведение подобных слагаемых в результате | Сложить коэффициенты при одинаковой буквенной части | 2x² + 3x² = 5x² |
Выполнить умножение: 3x(2x + 5). В скобках стоят два слагаемых, поэтому внешний множитель нужно применить к обоим. Сначала разберём два произведения, а затем запишем их суммой.
Подобных слагаемых здесь нет: буквенные части x² и x различаются. Ответ: 6x² + 15x.
Выполнить умножение: −2a²(3a − 4b + 1). Здесь важно не потерять минус перед одночленом и знак минус перед 4b. Каждое из трёх слагаемых скобок даст отдельное произведение.
Подобных слагаемых нет, так как буквенные части у всех трёх членов разные. Ответ: −6a³ + 8a²b − 2a².
Упростить выражение: 2x(3x − 1) − x(4x + 5). Перед второй скобкой стоит минус, поэтому при раскрытии важно учитывать его вместе с множителем x. Удобно сначала раскрыть обе скобки, сохранив знаки, а потом собрать подобные члены.
Ответ: 2x² − 7x.
Ошибка: умножить одночлен только на первый член многочлена. Так происходит, если скобки воспринимают как один неделимый множитель. Распределите множитель по всем слагаемым и проверьте результат подстановкой числа: исходное и полученное выражения должны иметь одинаковое значение.
Ошибка: потерять минус перед членом многочлена или перед одночленом. Знаки могут путаться, когда раскрывают несколько скобок подряд. Определяйте знак каждого произведения отдельно: минус на плюс даёт минус, минус на минус — плюс. Для проверки временно выделите знаки и коэффициенты отдельно.
Ошибка: сложить показатели у разных переменных, например получить a²b = a³. Это происходит из-за запоминания правила без проверки основания степени. Складывать показатели можно только у степеней с одинаковой переменной: a² · a = a³, но a² · b остаётся a²b. Пересчитайте, какие именно множители повторяются.
Ошибка: перемножить показатели степеней вместо того, чтобы сложить их, или оставить показатель прежним. Например, x² · x — это три множителя x, поэтому результат x³, а не x². Проверьте правило на раскрытии степеней: x² · x = (x · x) · x. Число множителей показывает, каким должен быть показатель.
Для этой темы нужны распределительное свойство умножения, правила знаков и умение перемножать одночлены. Если эти действия знакомы, раскрытие скобок сводится к их последовательному применению. Приём понадобится при упрощении алгебраических выражений и преобразовании формул, где нужно раскрывать скобки и собирать подобные слагаемые.
Почему одночлен нужно умножать на каждый член многочлена?
Так требует распределительное свойство: множитель перед скобками относится ко всей сумме или разности внутри скобок. Если умножить только на первый член, выражение изменится и равенство нарушится.
Что делать со знаком минус перед скобками?
Учитывайте минус как часть множителя и определяйте знак каждого произведения отдельно. Например, отрицательное число, умноженное на положительное, даёт отрицательное произведение.
Как умножать степени разных переменных?
Степени разных переменных записывают рядом, не складывая их показатели: например, a² · b = a²b. Показатели складываются только тогда, когда основания степеней одинаковые.
Почему при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются?
Степень показывает, сколько раз основание является множителем. Поэтому x² · x = (x · x) · x = x³: всего получилось три множителя x.
Нужно ли приводить подобные слагаемые после раскрытия скобок?
Да, если после умножения появились слагаемые с одинаковой буквенной частью. Их можно сложить или вычесть, объединив коэффициенты, и записать более короткий результат.
§ 16. Умножение многочлена на одночлен
