"Алгебра (в 2 частях)", Мордкович А.Г (часть 1), Мордкович А.Г. и др.; под ред. Мордковича А.Г. (часть 2)
Многочлены складывают и вычитают, чтобы упрощать алгебраические выражения и готовить их к дальнейшим действиям. При сложении можно убрать скобки, сохранив знаки слагаемых, а при вычитании нужно поменять знаки всех слагаемых вычитаемого многочлена. Затем приводят подобные слагаемые: складывают или вычитают их коэффициенты, оставляя буквенную часть неизменной. Результат обычно записывают без скобок и повторяющихся подобных слагаемых.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Многочлен — это сумма одночленов, например 3x² − 2x + 5. Его слагаемыми могут быть как выражения с переменными, так и числа; в записи они соединены знаками сложения или вычитания. Понятие помогает увидеть, из каких частей состоит выражение и какие из них можно объединить.
Подобные слагаемые — слагаемые с одинаковой буквенной частью и одинаковыми показателями степеней переменных. Например, 4a² и −7a² подобны, хотя коэффициенты 4 и −7 различаются. Это понятие нужно, чтобы понять, какие части многочлена можно заменить одним слагаемым.
Сумма многочленов — результат их сложения, который получают, объединяя слагаемые обоих многочленов и приводя подобные. Например, при сложении выражений с x можно собрать вместе все слагаемые с одинаковой степенью x. Такое упрощение делает запись короче и удобнее для дальнейших вычислений.
Разность многочленов — результат вычитания одного многочлена из другого. Её можно представить как сумму уменьшаемого и противоположного вычитаемому многочлена: A − B = A + (−B). Эта связь позволяет выполнять вычитание по правилам сложения, предварительно изменив знаки всех слагаемых вычитаемого.
При сложении многочленов скобки можно убрать, не меняя знаки слагаемых. Это следует из переместительного и сочетательного свойств сложения: слагаемые разрешается переставлять и группировать, не меняя сумму. Поэтому после снятия скобок удобно собрать вместе подобные части, даже если в исходной записи они стояли далеко друг от друга.
При вычитании перед скобками стоит знак минус, и он относится ко всему выражению внутри них. Вычесть многочлен — то же самое, что прибавить число, противоположное ему; противоположный многочлен получается умножением каждого слагаемого на −1. Поэтому при раскрытии скобок меняют знак каждого слагаемого, а уже потом приводят подобные.
Подобные слагаемые объединяют, складывая или вычитая коэффициенты, а буквенную часть оставляют прежней. Причина — распределительное свойство умножения: 2x² + 3x² = 2 · x² + 3 · x² = (2 + 3) · x² = 5x². Переменная и её степень здесь общие, поэтому меняется только число, на которое они умножены.
После упрощения многочлен записывают в стандартном виде: подобные слагаемые уже объединены, а лишние скобки убраны. Оставшиеся слагаемые можно расположить в удобном порядке, например сначала с наибольшей степенью переменной. Порядок не меняет значение выражения, поскольку слагаемые разрешается переставлять.
Результат можно проверить подстановкой чисел вместо переменных. Выберите значение переменной и вычислите исходное выражение и полученный многочлен отдельно: правильное преобразование сохраняет значение при любой подстановке. Совпадение для одного числа — полезная проверка, но оно не заменяет верное выполнение действий.
| Действие | Что сделать со скобками | Что сделать с подобными слагаемыми |
|---|---|---|
| Сложение многочленов | Убрать скобки, сохранив знаки слагаемых. | Объединить подобные слагаемые, сложив их коэффициенты. |
| Вычитание многочленов | Убрать скобки вычитаемого, изменив знаки всех его слагаемых. | Объединить подобные слагаемые, сложив их коэффициенты с учётом знаков. |
Сначала определите, какое действие стоит между многочленами, и правильно уберите скобки. Затем найдите слагаемые с одинаковой буквенной частью и сложите их коэффициенты. Если подобных слагаемых нет, оставьте их в ответе.
Упростим выражение (3x + 2) + (x − 5). Перед вторыми скобками стоит плюс, значит, их знаки сохраняются. После раскрытия скобок останется собрать слагаемые с одинаковой буквенной частью и числа отдельно.
Убираем скобки: 3x + 2 + x − 5. Все знаки сохранились, потому что перед скобками стоит плюс.
Объединяем подобные слагаемые: 3x + x = 4x, а 2 − 5 = −3. Складываем коэффициенты при x и отдельно числовые слагаемые.
Записываем результат: 4x − 3. В нём нет скобок и слагаемых, которые можно объединить.
Ответ: 4x − 3.
Теперь упростим (4a² − 3a + 1) − (a² + 2a − 6). Здесь вычитается целый многочлен, поэтому знак минус перед вторыми скобками меняет знаки всех трёх слагаемых. После этого можно сгруппировать одинаковые буквенные части.
Раскрываем вторые скобки: 4a² − 3a + 1 − a² − 2a + 6. Слагаемое −6 стало +6, потому что его знак также изменился.
Собираем подобные: 4a² − a² = 3a², −3a − 2a = −5a, 1 + 6 = 7. Для каждой группы отдельно складываем коэффициенты с их знаками.
Записываем слагаемые вместе: 3a² − 5a + 7. Других подобных слагаемых для объединения нет.
Ответ: 3a² − 5a + 7.
Найдём многочлен, который нужно прибавить к 2x² − 3x + 4, чтобы получить 5x² + x − 2. Обозначим неизвестный многочлен буквой P и запишем равенство: (2x² − 3x + 4) + P = 5x² + x − 2. Чтобы найти P, вычтем известное слагаемое из результата.
Выражаем неизвестный многочлен: P = (5x² + x − 2) − (2x² − 3x + 4). Вычитание нужно, чтобы убрать известное слагаемое из равенства.
Меняем знаки всех слагаемых во вторых скобках: P = 5x² + x − 2 − 2x² + 3x − 4. Теперь можно объединить слагаемые с одинаковой буквенной частью.
Приводим подобные: 5x² − 2x² = 3x², x + 3x = 4x, −2 − 4 = −6. Получаем P = 3x² + 4x − 6.
Ответ: 3x² + 4x − 6.
При вычитании иногда меняют знак только у первого слагаемого в скобках. Так происходит, если знак минус воспринимают как относящийся лишь к ближайшей части записи, но он относится ко всему вычитаемому многочлену. Проверьте себя: при раскрытии скобок каждый знак внутри должен стать противоположным.
Другая ошибка — объединять слагаемые с разными буквенными частями или степенями, например x и x². Их нельзя сложить в одно слагаемое, потому что они обозначают разные части выражения. Сверьте переменные и показатели степеней: они должны полностью совпадать.
Иногда при сложении многочленов без причины меняют знаки внутри скобок. Это случается, когда путают сложение с вычитанием, хотя при плюсе скобки можно просто убрать. Для проверки посмотрите на знак непосредственно перед скобками: плюс оставляет все внутренние знаки прежними.
Можно ошибочно изменить буквенную часть, например записать 2x² + 3x² как 5x⁴ или 5x² с другой степенью. При приведении подобных слагаемых складывают только коэффициенты, а переменная и её показатель сохраняются. Проверьте, что после объединения буквенная часть в точности такая же, как у исходных слагаемых.
Для действий с многочленами нужны навыки раскрытия скобок по распределительному свойству и приведения подобных слагаемых. Если эти шаги знакомы, сложение и вычитание сводятся к аккуратной работе со знаками и группировке одинаковых частей. Перед решением полезно убедиться, что вы умеете отличать подобные слагаемые.
Вычитание многочлена связано с раскрытием скобок, потому что вычитаемое можно умножить на −1 и прибавить к уменьшаемому. Такое представление объясняет, почему меняются знаки всех слагаемых. Умение складывать и вычитать многочлены пригодится при их умножении и при упрощении более длинных алгебраических выражений.
Почему при вычитании многочлена нужно менять знаки у всех слагаемых?
Вычесть многочлен — значит прибавить противоположный ему многочлен. Противоположный многочлен получается умножением каждого слагаемого на −1, поэтому знак меняется у каждого слагаемого.
Можно ли складывать слагаемые с разными степенями одной переменной?
Нет, такие слагаемые не являются подобными. Например, x и x² имеют разные буквенные части, поэтому их нельзя объединить в одно слагаемое.
Что делать, если после раскрытия скобок подобные слагаемые не нашлись?
Оставить все слагаемые как есть и записать выражение без лишних скобок. При желании можно расположить слагаемые в удобном порядке.
Меняются ли знаки слагаемых, если перед скобками стоит плюс?
Нет, при плюсе перед скобками знаки сохраняются. Скобки можно убрать, потому что прибавление многочлена не меняет знаки его слагаемых.
Как проверить, правильно ли выполнено сложение или вычитание?
Подставьте одно и то же числовое значение переменной сначала в исходное выражение, затем в полученный многочлен. Если вычисленные значения совпали, проверка пройдена.
§ 30. Сложение и вычитание многочленов
