§ 29. Основные понятия

Определения и обозначения

Функция — зависимость, при которой каждому допустимому значению аргумента соответствует единственное значение зависимой переменной. Иными словами, каждому разрешённому входу должен соответствовать только один результат. Это правило позволяет однозначно вычислять результат и изучать, как одна величина зависит от другой.

Аргумент — независимая переменная, обычно обозначаемая буквой x. Её допустимые значения образуют область определения функции. Аргумент выбирают или задают, а затем по правилу функции находят соответствующий результат.

Значение функции — результат, полученный при заданном аргументе. Его обозначают f(x) или y, поэтому пишут y = f(x). Это число показывает, чему стала равна зависимая переменная после подстановки аргумента.

График функции — множество точек координатной плоскости с координатами (x; f(x)), где x принадлежит области определения. Первая координата точки — аргумент, вторая — значение функции. По графику можно увидеть зависимость величин и найти результат для некоторых аргументов.

Как это устроено

Зависимость становится функцией не при любой связи между величинами. Для каждого выбранного значения первой величины должен находиться ровно один результат второй величины. Если одному аргументу соответствуют два разных значения, однозначного правила нет, поэтому такую зависимость функцией не считают.

Аргумент называют независимой переменной, потому что его значение рассматривают как исходное. Зависимая переменная меняется вслед за ним и вычисляется по правилу: y = f(x). Например, в формуле y = 2x − 3 сначала выбирают x, затем умножают его на 2 и вычитают 3, получая y.

Область определения находят до вычислений, потому что не всякое число можно подставить в формулу. Учитывают условие задачи, а также ограничения самой записи: на ноль делить нельзя, подкоренное выражение в 7 классе обычно должно быть неотрицательным. Так, в функции y = 5/(x − 2) нельзя брать x = 2, поскольку знаменатель станет нулём.

Множество значений функции получают после рассмотрения всех допустимых аргументов. Для каждого x из области определения находят результат f(x), а затем собирают все получившиеся значения без лишних повторений. Например, если таблица даёт y = 3, 1 и 3, множество значений записывают как {1; 3}.

Формула задаёт правило, таблица показывает отдельные пары значений, а график изображает их на координатной плоскости. Для построения берут точки (x; f(x)) и отмечают их в правильном порядке координат. Если область определения состоит из всех действительных чисел, одних нескольких точек недостаточно: график должен отражать зависимость для каждого допустимого x.

Основные понятия о функции

Сначала определите, о каком понятии говорится в условии, а затем найдите его обозначение или способ задания. Область определения относится к аргументу, а множество значений — к результатам функции. При построении графика всегда записывайте координаты в порядке (x; y).

Разбор задач

Задача 1

Условие: для функции y = 2x − 3 найдите значение при x = 4 и укажите соответствующую точку графика.

1. Аргумент уже задан: x = 4. Подставим это число вместо x в формулу.
2. Получим y = 2 · 4 − 3 = 8 − 3 = 5. Значит, f(4) = 5.
3. Координаты точки составляют из аргумента и найденного значения: (4; 5).

Ответ: y = 5; точка графика — (4; 5).

Задача 2

Условие: найдите область определения функции y = 5/(x − 2).

1. Формула содержит дробь, поэтому проверяем знаменатель. Он не может быть равен нулю.
2. Решаем условие x − 2 ≠ 0 и получаем x ≠ 2.
3. Все действительные числа, кроме 2, допустимы. Именно их и записываем в область определения.

Ответ: область определения: x ∈ R, x ≠ 2.

Задача 3

Условие: функция задана таблицей: при x = −1, 0, 2 значения y равны 3, 1, 3. Укажите область определения, множество значений и точки графика.

1. Область определения составляют все значения x из таблицы: {−1; 0; 2}.
2. Выписываем результаты y: 3, 1, 3. Повторяющееся значение 3 записываем один раз, поэтому множество значений равно {1; 3}.
3. Соединяем каждое значение x с соответствующим ему y: получаем точки (−1; 3), (0; 1), (2; 3).

Ответ: D = {−1; 0; 2}, E = {1; 3}; точки графика — (−1; 3), (0; 1), (2; 3).

Типичные ошибки

Областью определения иногда называют значения y. Ошибка возникает из-за смешения входа и результата: область определения состоит только из допустимых x. Проверьте себя вопросом: «Какие значения можно подставить в формулу?»

Некоторые считают, что одному значению функции может соответствовать только один аргумент. Это не является условием функции: разные аргументы могут дать одинаковый результат. Проверяйте обратным примером, например x = −2 и x = 2 для y = x².

При работе с дробью забывают исключить значение, обращающее знаменатель в ноль. Такое число выглядит допустимым, но формула при нём не имеет смысла. Подставьте подозрительное значение в знаменатель и убедитесь, что он не равен нулю.

Координаты точки иногда записывают как (f(x); x). Причина — привычка сначала называть найденный результат, но на плоскости первой координатой служит x. Перед записью точки сверяйте порядок: сначала аргумент, затем значение функции.

Связь с другими темами

Для изучения функций нужны навыки работы с координатной плоскостью, чтения формул и подстановки чисел вместо переменной. Без них трудно вычислять значения и отмечать точки графика.

Понятия аргумента, области определения и графика понадобятся при изучении линейной функции и других зависимостей. С их помощью будут исследовать свойства функций: изменение, нули, промежутки возрастания и убывания.

Что запомнить

• Функция каждому допустимому аргументу ставит в соответствие ровно одно значение.
• Аргумент обычно обозначают x, значение функции — y или f(x).
• Область определения — все допустимые значения аргумента.
• Множество значений — все значения, которые принимает функция.
• Точка графика функции имеет вид (x; f(x)).
• Функцию можно задавать формулой, таблицей или графиком.